[論文レビュー] Nonlift weight two paramodular eigenform constructions

Cris Poor, Jerry Shurman+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ボルチェルズ積と有限体上のモジュラー形式を用いて、$N < 600$ のすべての素数レベルで、グリツェンコ・リフトでカバーされない非リフト重さ2のパラモジュラーSiegel尖点形式の構成を完了する。特に、$N = 461$ および $587^+$ の例外的レベルでは、有限体 $p$ におけるレベル $2N$ からのトレースダウン技術により、非リフト形式の存在を確認し、これらのケースにおけるパラモジュラー予想を裏付ける。

ABSTRACT

We complete the construction of the nonlift weight two cusp paramodular Hecke eigenforms for prime levels N&lt;600, which arise in conformance with the paramodular conjecture of Brumer and Kramer.

研究の動機と目的

• Gritsenko リフトでカバーされないすべての素数レベル $N < 600$ における、非リフト重さ2のパラモジュラーヘッケ固有形式の構成を完了すること。
• 特に、$N = 461$ および $587^+$ におけるパラモジュラー予想の残存例外ケースを解消すること。ここでは、プラス空間にボルチェルズ積が存在しない。
• 有限体におけるレベル $2N$ からのトレースダウン技術を用いて、これらのレベルにおける非リフト固有形式の存在を確立すること。
• アーベル曲面、QMアーベル4次元多様体、およびパラモジュラー形式の間の双対性予測を支持する計算的証拠と明示的構成を提供すること。

提案手法

• ほとんどの例外的レベルにおいて、θブロックと特異尖点形式を用いて、${\mathcal{S}}_2({\rm K}(N))$ におけるボルチェルズ積により非リフト固有形式を構成する。
• $N = 461$ および $587^+$ では、プラス空間にボルチェルズ積が存在しないため、有限体 $p$ におけるレベル $2N$ のJacobi制限を用いて、${\mathcal{S}}_2({\rm K}(2N))^{-,+}$ に形式を構成する。
• フーリエ係数を $p$ を法として延長・補完する技術を用い、${\mathcal{S}}_2({\rm K}(2N))^{-,+}$ 内のアトキン＝レナー固有形式の部分係数データを拡張する。
• 特徴的 $p$ における上昇固有形式にトレースダウン作用素 $\operatorname{TD}$ を適用し、${\mathcal{S}}_2({\rm K}(N))^{+}$ に属する形式を得る。この過程で整数性と $p$ を法とする構造を保つ。
• 係数の数え上げ（$N=461$ では255個、$N=587$ では271個）を用いて、トレースダウンされた形式が $p$ を法としてグリツェンコ・リフトから線形独立であることを確認する。
• 関係式 $\operatorname{TD}((f^{-,+}_{2N})_p) = (\operatorname{TD}f^{-,+}_{2N})_p$ を利用して、特徴的0における非リフト形式の存在を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プラス空間にボルチェルズ積が存在しない $N = 461$ において、非リフトパラモジュラー固有形式が存在するか？
• RQ2 $N = 587^+$ において、直接的なボルチェルズ積構成が不可能な状況でも、非リフト固有形式の存在を確立できるか？
• RQ3 延長および補完技術を用いた有限体におけるフーリエ係数の操作により、トレースダウンされた固有形式の非リフト性を検証できるか？
• RQ4 $p$ を法とする計算されたフーリエ係数は、トレースダウンされた形式とグリツェンコ・リフトを区別するのに十分か？
• RQ5 すべての素数レベル $N < 600$ において、パラモジュラー予想が完全に検証されたか？

主な発見

• 本稿は、$N < 600$ のすべての素数レベルにおける非リフト重さ2パラモジュラー固有形式の構成を完了し、以前未解決だった $N = 277, 349, 353, 389, 461, 523, 587^\pm$ のケースを含む。
• $N = 461$ において、特徴的 $p = 12347$ におけるレベル $922$ のアトキン＝レナー固有形式のトレースダウンにより、${\mathcal{S}}_2({\rm K}(461))^+$ 内に非リフト固有形式の存在が確認された。この際、$p$ を法とする255個のフーリエ係数が用いられた。
• $N = 587^+$ においては、レベル $1174$ からのトレースダウンにより非リフト固有形式の存在が確立され、$p$ を法とする271個のフーリエ係数を用いて、グリツェンコ・リフトからの線形独立性が確認された。
• 例外的レベルにおけるプラス空間およびマイナス空間の次元が完全に特定された：$N \neq 587$ の場合、$\dim{\mathcal{S}}_2({\rm K}(N))^+ = \dim{\rm J}_{2,N}^{\rm cusp} + 1$ かつ $\dim{\mathcal{S}}_2({\rm K}(N))^- = 0$ であり、$N = 587$ の場合、$\dim{\mathcal{S}}_2({\rm K}(587))^- = 1$ である。
• この構成により、すべての素数レベル $N < 600$ においてパラモジュラー予想が成立し、$L$-関数の一致を通じて $\mathcal{A}_N \cup \mathcal{B}_N \longleftrightarrow \mathcal{P}_N$ の双対性が実現されたことが確認された。
• 本結果により、600未満の素数レベルにおけるパラモジュラー予想の最終的な未解決ケースが解消され、[14]で提唱されたプログラムが完了した。