[論文レビュー] Nonlinear analysis of forced mechanical systems with internal resonance using spectral submanifolds, Part I: Periodic response and forced response curve

Mingwu Li, Shobhit Jain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2021

Bladed Disk Vibration Dynamics参考文献 58被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、内部共振を有する高次元非線形機械系における周期的応答および強制応答曲線（FRC）を効率的に計算するための低次元モデル化フレームワークを提示する。共振モードに関連する2次元のスペクトル部分多様体（SSM）にシステムのダイナミクスを射影することで、FRCの計算が、低次元モデルの平衡解の続行問題に変換され、von Kármánビームや板のような系において、複雑な非線形ダイナミクスを正確かつ計算的に効率的に抽出可能となる。

ABSTRACT

We show how spectral submanifold theory can be used to construct reduced-order models for harmonically excited mechanical systems with internal resonances. Efficient calculations of periodic and quasi-periodic responses with the reduced-order models are discussed in this paper and its companion, Part II, respectively. The dimension of a reduced-order model is determined by the number of modes involved in the internal resonance, independently of the dimension of the full system. The periodic responses of the full system are obtained as equilibria of the reduced-order model on spectral submanifolds. The forced response curve of periodic orbits then becomes a manifold of equilibria, which can be easily extracted using parameter continuation. To demonstrate the effectiveness and efficiency of the reduction, we compute the forced response curves of several high-dimensional nonlinear mechanical systems, including the finite-element models of a von Kármán beam and a plate.

研究の動機と目的

• 内部共振を有する高次元機械系における周期的応答および強制応答曲線（FRC）を計算的に効率よく計算する手法の開発。
• 大規模な有限要素モデルにおいて、従来の数値的手法（例：直接積分、コロケーション、ハーモニックバランス）の prohibitively 高い計算コストを克服すること。
• スペクトル部分多様体（SSM）理論を活用し、システム全体のサイズに依存せず、共振モードの数にのみ依存する次元の低次元モデルを構築すること。
• SSM上のパrameter続行を用いて、FRCの正確な抽出、特に孤立型や複雑な非線形現象を含むものを可能にすること。
• von Kármánビームや板のような高次元系において、本手法の有効性を実証すること。

提案手法

• 本手法は、共振モード部分空間に関連するスペクトル部分多様体（SSM）を同定することで低次元モデルを構築する。SSMは原点で線形モード部分空間に接する滑らかな不変多様体である。
• 全系の周期的応答は、SSM上の低次元モデルの平衡解として特定され、数値的続行法により効率的に計算可能となる。
• 強制応答曲線（FRC）は、低次元モデルにおける平衡解の多様体として得られ、COCO継続ソフトウェアを用いたパスフォローアルゴリズムで追跡される。
• 本手法は、COCOにおける atlas-1d および atlas-kd アルゴリズムを用いたパrameter続行を採用し、高次元問題に対応するようにカスタマイズされた続行パrameterを用いる。
• メッシュの適応と誤差制御（MXCL）は無効化または注意深く管理され、特に大変形系においても安定性と正確性を維持する。
• 本手法は、von Kármánビーム、板、およびTimoshenkoビームの有限要素モデルを用いて検証され、異なる続行設定およびメッシュ構成での結果が比較された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル部分多様体（SSM）を用いて、内部共振を有する高次元機械系の本質的非線形ダイナミクスを保持する低次元モデルを構築する方法は何か？
• RQ2 内部共振を有する非線形系の強制応答曲線（FRC）は、SSMに基づく低次元モデルを用いて、効率的かつ正確に計算可能か？
• RQ3 大規模システムに対して、従来の手法（直接積分、コロケーション、ハーモニックバランス）と比較して、SSMに基づく低次元化にどのような計算上の利点があるか？
• RQ4 続行パrameterおよび数値的設定（例：ステップサイズ、残差許容誤差）が、高次元SSM低次元モデルにおけるFRC計算の正確性と効率にどのように影響するか？
• RQ5 SSMに基づく低次元化は、孤立型、飽和、エネルギー伝達といった複雑な非線形現象を、共振系においてどの程度正確に捉えることができるか？

主な発見

• SSMに基づく低次元モデルは、FRCを平衡解の多様体として効率的に計算可能であり、全系手法と比較して著しく低い計算コストで数値的続行が可能となる。
• 20要素（58自由度）のvon Kármánビームでは、atlas-1dを用いて約6.5時間でFRCが計算され、最大続行ステップサイズが約30に達し、デフォルトの0.5をはるかに上回った。
• Timoshenkoビームの例では、最大続行ステップサイズが900を超えたが、大変形にもかかわらず高次元継続の安定性が確認された。
• von Kármán板の例では、atlas-kdを用いて約11時間で500点のFRCが生成され、予測子の最大残差が10に達した。これは高次元非線形性の効果的な取り扱いを示している。
• atlas-kd実行で最大残差を100に引き上げた場合、FRCは約6時間で107点で計算され、大ステップサイズが許容可能な場合、atlas-1dとatlas-kdの計算時間は同程度であった。
• 本手法は、内部共振を有する系において、孤立型や周波数安定化といった複雑な非線形ダイナミクスを正確に捉えることに成功し、複雑なモード相互作用をモデル化する能力が裏付けられた。