[論文レビュー] Nonlinear and non-coercive elliptic problems with integrable data

Mohsen Ben Cheikh Ali, Olivier Guibé|ArXiv.org|Mar 12, 2008

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、主な作用素が退化する低次の項によって強収縮性を欠くため、可積分データ $ f \in L^1(\Omega) $ を持つ非線形で非強収縮な楕円型問題に対して、正規化解の存在および一意性を確立する。著者らは、洗練された切り詰め技術と重み付きソボレフ推定を用い、非線形性および低次の項にやや弱い正則性仮定のもとで一意性を証明し、従来の結果を臨界ケース $ p = N $ および一般の非強収縮構造へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we study existence and uniqueness of renormalized solution to the following problem $λ(x,u) -div a(x,Du) +Φ(x,u)) =f$ with $f$ in $L^1$ and with Dirichlet-Neumann boundary condition. The main difficulty in this task is that in general the operator entering in the above equation is not coercive in a Sobolev space. Moreover, the possible degenerate character of $λ$ with respect to $u$ renders more complex the proof of uniqueness for integrable data $f$.

研究の動機と目的

• 標準的な強収縮性が成立しない非強収縮作用素と可積分データ $ f \in L^1(\Omega) $ を持つ非線形楕円型方程式の解の存在および一意性を扱う。
• 作用素における勾配項よりも支配的になる可能性がある低次の項 $ \Phi(x,u) $ に起因する強収縮性の欠如を克服する。
• $ L^1 $ データを伴う非強収縮問題への正規化解の枠組みを拡張し、特に臨界ケース $ p = N $ を含む。
• 古典的な強い単調性に代えて、より弱い正則性仮定のもとで一意性を確立する、特に $ \lambda(x,u) $ が厳密単調またはゼロである場合に有効である。
• 混合境界条件を伴う穿孔領域の均質化に生じる問題に対して、統一的なアプローチを提供する。

提案手法

• 著者らは、DiPernaとLionsが導入した正規化解の概念を用い、非強収縮設定下での $ L^1 $ データの取り扱いに適応する。
• 主な技術的道具として、関数 $ T_n(u) $ の切り詰めと、解の差を制御するための試験関数 $ \frac{h_n(u) T_\sigma(u - v)}{\sigma} $ を併用する。
• ホルダーの不等式とソボレフ埋め込みを用いて、特に項 $ \frac{|Du|^p}{(1 + |u|)^{1+m}} $ に対して重み付き $ L^p $ 型推定を導出する。
• 極限を取る際には、ファトウの補題とルベーグの収束定理を用い、切り詰め方程式の極限を取って $ \Omega $ ほぼ everywhere で $ u = v $ を示す。
• 重要なステップとして、$ \left|b(x)\right|^2 (|u| + |v| + 1)^{2\gamma} (|Du| + |Dv|)^{2-p} $ を $ L^1(\Omega) $ に有界化することであり、これはパラメータの適切な選択と可積分性条件によって達成される。
• 作用素 $ \mathbf{a}(x,Du) + \Phi(x,u) $ の構造に着目し、$ \mathbf{a} $ が単調で、$ \Phi $ が亜臨界成長条件を満たすと仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主な作用素が強収縮性を欠く非強収縮楕円型問題に対して、$ L^1 $ データのもとで正規化解が存在する条件は何か？
• RQ2 低次の項 $ \Phi(x,u) $ が厳密単調ではなく、作用素が退化している場合に、このような問題の解の一意性は確立可能か？
• RQ3 $ p = N $ の場合に、$ \lambda(x,u) $ および $ \Phi(x,u) $ にどのような正則性条件を課すと、正規化解の一意性が保証されるか？
• RQ4 $ f \in L^1(\Omega) $ かつ $ p \leq N $ の場合に、強収縮性の欠如を、存在証明でどのように補償できるか？
• RQ5 特に $ \lambda(x,u) \equiv 0 $ の場合に、$ \Phi $ に対してグローバルリプシッツ連続性を仮定しないで、一意性を証明することは可能か？

主な発見

• 本稿では、$ \Phi $ および $ b(x) $ に適切な可積分性および成長条件を課したもとで、非強収縮楕円型問題 (1.1)–(1.3) に対して、$ f \in L^1(\Omega) $ のもとで正規化解の存在を証明し、従来の結果を非強収縮設定へと拡張する。
• 解の一意性は、$ \lambda(x,u) $ が厳密単調で、$ \Phi(x,u) $ が $ u $ に関して局所リプシッツ連続である場合に確立され、強収縮性がなくても成立する。
• $ \lambda(x,u) \equiv 0 $ の場合、$ \mathbf{a} $ および $ \Phi $ にグローバル条件を課し、$ b(x) $ に臨界成長条件を課すことで、$ 1 < p \leq 2 $ の場合に一意性を証明する。
• 著者らは、$ \left|b(x)\right|^2 (|u| + |v| + 1)^{2\gamma} (|Du| + |Dv|)^{2-p} \in L^1(\Omega) $ であることを示し、これが一意性証明において不可欠であることを明らかにする。
• $ \lim_{\sigma \to 0} \frac{1}{\sigma^2} \int_\Omega \frac{|DT_\sigma(u - v)|^2}{(|Du| + |Dv|)^{2-p}} dx = 0 $ が成り立つことを示し、これにより $ \Omega $ ほぼ everywhere で $ u = v $ であることが従う。一意性が確認される。
• 標準的な強収縮性が成立しない臨界ケース $ p = N $ に対しても、洗練された切り詰めと重み付き推定戦略を用いることで、本手法は効果的に対処できる。