[論文レビュー] Nonlinear Connections on Gerbes, Clifford Modules, and the Index Theorems

Sergiu I. Vacaru, Juan F. González--Hernández|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2005

Algebraic and Geometric Analysis被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、非可積分なバンドル・ゲーブルに非線形接続を備えた幾何的枠組みを構築し、非スピン多様体上のクリフォード加群として定式化することで、非可積分ディラック作用素を定義し、アティyah–シンガー指数定理を導出する。主な貢献は、重力および幾何学的力学における非可積分構造に対する一般化された指数理論の確立である。

ABSTRACT

The geometry of nonholonomic bundle gerbes provided with nonlinear connection structure and related nonholonomic gerbe modules is elaborated as the theory of Clifford modules on nonholonomic manifolds which positively fail to be spin. We explore an approach to such nonholonomic Dirac operators and derive the related Atiyah–Singer index formulas. There are considered certain applications in modern gravity and geometric mechanics of such Clifford–Lagrange / Finsler gerbes and their realizations as nonholonomic Clifford and Riemann– Cartan modules. Keywords: Nonholonomic gerbes, nonlinear connections, Riemann–Cartan

研究の動機と目的

• 非可積分多様体にディラック作用素および指数定理の理論を、スピン構造を備えないものへと拡張すること。
• 非可積分バンドル・ゲーブルに非線形接続を備えた幾何的枠組みを確立すること。
• ゲーブル加群の実現としての非可積分クリフォード加群およびリーマン–カルタン加群を定式化すること。
• クリフォード加群理論を用いて、非可積分ディラック作用素の指数公式を導出すること。
• Finsler型およびラグランジュ型構造を含む現代の重力および幾何学的力学への応用の基盤を提供すること。

提案手法

• 非可積分分布を記述するため、ファイバー束上の非線形接続を用いて非可積分ゲーブルをモデル化すること。
• スピン構造を備えない非可積分多様体上にクリフォード加群を構成すること。
• これらのクリフォード加群上の第一順位の楕円型作用素として非可積分ディラック作用素を定義すること。
• 局所指数公式を用いて、非可積分ディラック作用素にアティyah–シンガー指数定理を適用すること。
• 非可積分構造における曲率およびねじれを記述するためにリーマン–カルタン幾何学を用いること。
• クリフォード–ラグランジュおよびFinslerゲーブルを、力学および重力における非可積分系の幾何的モデルとして実現すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピンでない非可積分多様体上に、どのようにディラック作用素を定義できるか？
• RQ2 非線形接続を備えた非可積分バンドル・ゲーブルの構造はいかなるものか？
• RQ3 非可積分多様体上のクリフォード加群は、アティyah–シンガー指数定理とどのように関係するか？
• RQ4 重力および力学における非可積分構造の幾何学的および位相的意味は何か？
• RQ5 Finslerおよびラグランジュ型ゲーブルは、どのように非可積分クリフォード加群として実現できるか？

主な発見

• 非可積分ディラック作用素は、非スピンで非可積分な多様体上のクリフォード加群上の第一順位の楕円型作用素として構成される。
• 非可積分ゲーブル加群上の局所指数公式を用いて、アティyah–シンガー指数公式が非可積分構造へと一般化される。
• 非可積分リーマン–カルタン幾何学は、指数計算に必要な曲率およびねじれの枠組みを提供する。
• クリフォード–ラグランジュおよびFinslerゲーブルは、幾何学的力学における非可積分加群の自然な幾何的実現として出現する。
• この理論により、非可積分分布を有する系における指数論的解析が可能となり、現代の重力モデルに関連する。
• この枠組みは、標準的なスピン幾何学では扱えない非可積分構造に対して一貫した指数理論を確立する。