[論文レビュー] Nonlinear contractions in metric spaces under locally T-transitive binary relations

Aftab Alam, Mohammad Imdad|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2015

Fixed Point Theorems Analysis被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、局所的T-推移的二項関係を備えた距離空間における非線形収縮写像についての不動点定理を確立し、Boyd-WongおよびJocićの定理を一般化する。T-閉性、局所的T-推移性、φ-収縮性という条件のもとで、不動点の存在および一意性を証明し、普遍的でない関係へのより広範な適用を可能にする、関係論的不動点理論における先行研究の拡張である。

ABSTRACT

In this paper, we present a variant of Boyd-Wong fixed point theorem in a metric space equipped with a locally T-transitive binary relation, which under universal relation reduces to Boyd-Wong (Proc. Amer. Math. Soc. 20 (1969) 458-464) and Jotic (Indian J. Pure Appl. Math. 26 (1995) 947-952) fixed point theorems. Also, our results extend several other well-known fixed point theorems such as: Alam and Imdad (J. Fixed Point Theory Appl. 17 (4) (2015) 693-702) and Karapinar and Roldan-Lopez-de-Hierro (J. Inequal. Appl. 2014:522 (2014) 12 pp) besides some others.

研究の動機と目的

• 局所的T-推移的二項関係の導入により、距離空間におけるBoyd-WongおよびJocićの不動点定理を一般化すること。
• 既存の関係論的不動点定理における推移性または完備性の要件を弱める。
• AlamとImdad（2015）、KarapinarとRoldan-Lopez-de-Hierro（2014）らの結果を共通の枠組みで統一および拡張すること。
• 連続性やグローバルな推移性を仮定せずに、自己写像が一意な不動点を持つための条件を確立すること。
• 局所的T-推移性がT-閉性およびφ-収縮性と組み合わさることで、収束が保証されることを示すこと。

提案手法

• 局所的T-推移的二項関係の概念を導入し、関係内の有限パスが点を接続することを許容する、推移性の一般化を提供する。
• 二項関係のT-閉性を定義し、(x,y) ∈ R ならば (Tx,Ty) ∈ R となるように、写像のもとで関係が保存されることを保証する。
• φ ∈ Φ なる制御関数を用い、φ(t) < t (すべての t > 0 に対して) かつ lim_{r→t⁺} φ(r) < t を満たすものとして、φ-収縮性を定義する：関係のある x,y に対して d(Tx,Ty) ≤ φ(d(x,y)) が成り立つ。
• T(X) 内の有限な R^s-接続パスに基づく議論を用い、反復写像間の距離が0に近づくことを示す。
• 長さkの有限パスにおける三角不等式を適用し、d(x,y) を d(T^n z_i, T^n z_{i+1}) 項の和で上から抑える。
• 数学的帰納法と φ(t_n^i) < t_n^i の性質を用い、各項が n → ∞ のとき0に近づくことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Boyd-Wongの不動点定理は、推移的または普遍的でない二項関係を備えた距離空間へ拡張可能か？
• RQ2 連続性を仮定しない場合、どのような構造的条件がφ-収縮性写像の不動点の存在を保証するか？
• RQ3 局所的T-推移性は、グローバルな推移性や完備性と比較して、反復写像の収束を保証するためにどの程度有効か？
• RQ4 T-閉性と局所的T-推移性が同時に成立する場合、不動点の一意性が保証される条件は何か？
• RQ5 本結果は、Jocić や Nieto-Rodríguez-López の既知の定理を統一的枠組みのもとで回復可能か？

主な発見

• 本稿は、Tが完備距離空間上の自己写像であり、関係Rが局所的T-推移的であり、TがR連続的かつφ-収縮的であるとき、Tには不動点が存在することを証明する。
• 画像 T(X) が R^s-接続されている場合、不動点の一意性が保証される。これは、R|_T(X) が完備であるか、T(X) が R^s-指向である場合に成立する。
• R が普遍的関係 X² であるとき、結果は古典的Boyd-Wong定理に還元される。
• R が部分順序である場合、T が増加的かつ空間がICU性質を持つという条件下で、結果はNietoとRodríguez-López（2005）の定理1.3を一般化する。
• 証明により、任意の2つの不動点 x と y に対して、d(x,y) が R^s 内の有限パスに沿って反復写像の下で0に近づくことが示され、x = y が導かれる。
• 著者らは、局所的T-推移性が非線形収縮に対して本質的であることを示しており、T-閉性だけではそれが不十分であることを示している。