[論文レビュー] Nonlinear-damping continuation of the nonlinear Schrödinger equation - a numerical study

Gadi Fibich, M. Klein|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、臨界定域および超臨界定域の非線形シュレーディンガー方程式（NLS）における特異解の非線形減衰継続について数値的に調査し、小さな非線形減衰が時間反転対称性を破り、崩壊後のダイナミクスが顕著に非対称になることを示している。主な結果は、減衰係数 δ → 0+ のとき、特異コアの崩壊後拡散速度が発散することであり、最小パワー臨界定域NLS解では、非線形減衰指数 q とともに拡散速度が単調に増加することである。

ABSTRACT

We study the nonlinear-damping continuation of singular solutions of the critical and supercritical NLS. Our simulations suggest that for generic initial conditions that lead to collapse in the undamped NLS, the solution of the weakly-damped NLS $$ iψ_t(t,\X)+Δψ+|ψ|^{p-1}ψ+iδ|ψ|^{q-1}ψ=0,\qquad0

研究の動機と目的

• 臨界定域および超臨界定域NLSの特異解に及ぼされる小さな非線形減衰の影響を、崩壊時を過ぎても調査すること。
• 非線形減衰が時間反可逆性を破るため、特異解の継続が特異時間に対して対称的であるかどうかを特定すること。
• 特異コアの崩壊後拡散速度が非線形減衰指数 q および減衰係数 δ にどのように依存するかを検討すること。
• δ→0+ の極限解が臨界定域の場合に最小パワー解に対応するかどうか、および超臨界定域ではそのような解が普遍的挙動を示すかどうかを調査すること。

提案手法

• 臨界定域および超臨界定域の両ケースに対して、$ 0 < \beta \to 0^+ $ を満たす非線形減衰項 $ i\beta |\rho|^{q-1}\rho $ を含む、減衰NLSの数値的シミュレーション：$ i\frac{\text{d}\rho}{\text{d}t} + \nabla^2 \rho + |\rho|^{p-1}\rho + i\beta |\rho|^{q-1}\rho = 0 $。
• コア振幅および幅の動的挙動を追跡するため、特異コア付近の漸近的還元をODE系に適用すること。
• 非線形減衰下でのハミルトニアンの進化を分析し、$ H_t > 0 $ であることを示し、崩壊停止時にエネルギー増加が生じることを示すこと。
• $ \beta \to 0^+ $ の極限挙動を比較し、$ T_c $ の前後でコア幅 $ L(t) $ の線形増加を注目し、$ T_c - t $ と $ \tilde{\beta}(q)(t - T_c) $ の異なる勾配を特定すること。
• 位相の進化を検討し、$ t \to T_c^- $ のとき $ \text{arg}(\rho) \to \text{const} $ であるが、崩壊後には $ \text{arg}(\rho) \to \text{infty} $ となることから、位相の喪失を示すこと。
• $ T_{\text{arrest}}^{(\beta)} $ 付近での解のプロファイルを、臨界定域および超臨界定域の既知の漸近的プロファイル $ \rho_R $ および $ \rho_Q $ と比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形減衰は、特異NLS解の継続において時間反転対称性を保つのか？
• RQ2 特異コアの崩壊後拡散速度は、非線形減衰指数 $ q $ および減衰係数 $ \beta $ にどのように依存するか？
• RQ3 臨界定域NLSにおいて $ \beta \to 0^+ $ の極限解は最小パワー解であり、元の収束速度 $ \beta $ よりも高い拡散速度を示すのか？
• RQ4 超臨界定域NLSにおいて、崩壊停止付近の解プロファイルは、超臨界定域の $ \rho_R $ プロファイルに類似しているか？そのような状況はどのような条件下で観察されるか？
• RQ5 非線形減衰によるハミルトニアン増加は、崩壊後ダイナミクスを決定づける役割を果たすのか？

主な発見

• 非線形減衰項による時間反転対称性の破れにより、非線形減衰NLS解は特異時間 $ T_c $ に対して顕著に非対称である。
• $ \beta \to 0^+ $ のとき、特異コアの崩壊後拡散速度は発散し、$ L_t(t) \to \tilde{\beta}(q)(t - T_c) $ となる。ここで $ \tilde{\beta}(q) $ は $ q $ とともに単調に増加する。
• 最小パワー臨界定域NLS解では、極限の崩壊後解が最小パワー解であり、拡散速度 $ \tilde{\beta}(q) $ を示す。この速度は元の収束速度 $ \beta $ を上回り、$ q $ とともに増加する。
• 超臨界定域NLSでは、崩壊の停止は $ q > p $ のときのみ成立するが、臨界定域では $ q \to p $ で十分であるため、超臨界定域では停止条件がより厳しくなる。
• 超臨界定域において $ T_{\text{arrest}}^{(\beta)} $ 付近の解プロファイルは、超臨界定域の $ \rho_R $ プロファイルに近づいているように見えるが、これは以前に報告されていなかった新規の観察である。
• 非線形減衰により崩壊停止中にハミルトニアンが増加し、$ H_t = 2\beta \text{Re} \big( \rho_t^* |\rho|^{q-1} \rho \big) > 0 $ であるため、この増加は崩壊後勾配 $ \tilde{\beta}(q) $ の増加と相関している。