[論文レビュー] Nonlinear Dirac equations and nonlinear gauge transformations

H. D. Doebner, Renat Zhdanov|ArXiv.org|Apr 25, 2003

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ひとこと要約

本稿では、局所性、分離可能性、ポincare不変性、位置密度不変性を保つ非線形ゲージ変換の群を通じて、非線形ディラック方程式（NLDE）の族を導出する。主な貢献は、線形ディラック方程式の「ゲージ拡張」であり、線形性からの最小限のずれで物理的に妥当な非線形修正を加えた方程式を生み出す。これは、標準量子力学を超えた非線形量子力学の動的挙動を探索するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

Nonlinear Dirac equations (NLDE) are derived through a group N^2 of nonlinear (gauge) transformation acting in the corresponding state space. The construction generalises a construction for nonlinear Schrödinger equations. To relate N^2 with physically motivated principles we assume: locality (i.e. it contains no explicit derivative and no derivatives of the wave function), separability (i.e. it acts on product states componentwise) and Poincaré invariance. Furthermore we want that a positional density is invariant under N^2. Such nonlinear transformations yield NLDE which describe physically equivalent systems. To get 'new' systems, we extend this NLDE (gauge extension) and present a family of NLDE which is a slight nonlinear generalisation of the Dirac equation. We discuss and comment the fact that nonlinear evolutions are not consistent with the usual framework of quantum theory. To develop a corresponding extended framework one needs models for nonlinear evolutions which also indicate possible physical consequences of nonlinearities.

研究の動機と目的

• 非線形ディラック方程式を非線形変換によって一般化することで、非線形量子力学の物理的に整合性のある枠組みを構築すること。
• 非線形方程式が局所性、分離可能性、ポincare不変性、位置密度不変性といった基本的物理的原理を尊重することを保証すること。
• 線形ディラック方程式の「ゲージ拡張」を構築し、線形の場合とは等価でないが物理的に意味のある新しい非線形ディラック方程式を導出すること。
• 高精度実験における線形性からの測定可能なずれを生じる非線形進化を含む量子理論の拡張の基盤を提供すること。

提案手法

• スピンルーピング波動関数 $\psi$ に対して成分ごとの乗算により作用する非線形かつ可逆な変換群 $\mathfrak{N}^2$ を構築：$N\psi = N(\psi)\psi$ とし、局所性と分離可能性を保証する。
• ポincare不変性と密度不変性を課すことにより、物理的に妥当な変換に制限された非線形性のクラスを制限する。
• 非線形ディラック作用素 $\mathbb{D}_D^N = \mathbb{D}_D N$ を導出し、変換された波動関数 $\psi'$ に対して非線形進化方程式 $\mathbb{D}_D^N \psi' = 0$ を得る。
• ハミルトニアン $H_{2,ex}(X,Y)$ に非線形項を許容するゲージ拡張を導入し、局所性とポincare不変性を保つ。
• 構造 $H_{2,ex}(X,Y) = (\gamma_\mu p^\mu X)ig(X) + (\gamma_\mu p^\mu Z)(ik(Z) + l(Z)\gamma_5) - m\exp(2n(Z))\gamma_5$ を用いて、拡張族 $\mathcal{F}^{ex}_2$ を定義する。
• 拡張族 $\mathcal{F}^{ex}_2$ が線形族 $\mathcal{F}_0$ と等価でない一方で、物理的整合性を保つために「穏やかな」非線形補正を維持することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所性、分離可能性、ポincare不変性といった物理的に妥当な原理から、非線形ディラック方程式を導出できるか？
• RQ2 物理的等価性を保ちつつ、新たな非線形力学を生み出す非線形ゲージ変換をどのように構築できるか？
• RQ3 相対論的不変性と局所的進化を保ちつつ、ディラック方程式の非線形拡張の構造はどのようなものか？
• RQ4 このような非線形方程式は、高精度実験において線形量子力学からの測定可能なずれを生じるか？
• RQ5 非相対論的極限において、非線形ディラック方程式は非相対論的非線形シュレーディンガー方程式とどのように関係するか？

主な発見

• 局所性、分離可能性、ポincare不変性、位置密度不変性を保つ非線形ゲージ変換を用いて、非線形ディラック方程式族 $\mathcal{F}_2^{ex}$ が構築された。
• 拡張族 $\mathcal{F}_2^{ex}$ は、非線形関数 $g(X)$, $k(Z)$, $l(Z)$, $n(Z)$ に明示的な依存を持つハミルトニアン $H_{2,ex}(X,Y)$ で定義され、局所的かつ相対論的に不変な力学を保証する。
• 得られた方程式は線形ディラック方程式 $\mathcal{F}_0$ とは等価ではなく、しかし「穏やかな」非線形補正を示しており、実験的制約と整合する可能性を示唆する。
• この構成は、第一原理から物理的に妥当な非線形ディラック方程式を体系的に生成する方法を提供し、線形枠組みを制御された方法で拡張する。
• $H_{2,ex}$ の非線形項には $\psi$ の2階微分が含まれないため、$\mathcal{F}_2^{ex}$ の非相対論的極限が、微分依存変換を含まない限り、標準的な非線形シュレーディンガー方程式には自然に帰着しない。
• この枠組みは、整合的な非線形量子理論が動的原理に基づいて構築され、非線形性の構造が拡張された量子形式主義の形を規定することを示唆する。