[論文レビュー] Nonlinear discrete-time quantum walk and anomalous diffusion

Tatsuaki Wada, Yutaka Shikano|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、直線上の離散時間量子ウォークに対して、直前のステップにおけるコイン状態に依存する非線形フィードフォワード量子コインモデルを提案する。従来の量子ウォークが球状輸送を示すのに対し、本モデルは多孔質媒体方程式に従う異常な遅い拡散を誘発し、非自明な離散的・連続的対応関係を持つ、新たなクラスの量子ダイナミクス的挙動を明らかにする。

ABSTRACT

Constructing a discrete model like a cellular automaton is a powerful method for understanding various dynamical systems. However, the relationship between the discrete model and its continuous analogue is, in general, nontrivial. As a quantum-mechanical cellular automaton, a discrete-time quantum walk is defined to include various quantum dynamical behavior. Here we generalize a discrete-time quantum walk on a line into the feed-forward quantum coin model, which depends on the coin state of the previous step. We show that our proposed model has an anomalous slow diffusion characterized by the porous-medium equation, while the conventional discrete-time quantum walk model shows ballistic transport.

研究の動機と目的

• 離散的量子ウォークモデルとその連続的類似物との関係、特に非自明なダイナミクス的領域における関係を調査すること。
• 標準的な球状輸送とは対照的に、非平衡拡散を示すモデルの不足を補うこと。
• 直前のコイン状態に依存するフィードフォワード機構を導入することで、離散時間量子ウォークを一般化すること。
• このような非線形フィードバックが、古典的な多孔質媒体ダイナミクスに類似した拡散挙動を引き起こすかどうかを調査すること。

提案手法

• 標準的な離散時間量子ウォークを一般化し、コイン操作を直前の時間ステップのコイン状態に依存させることで非線形性を導入する。
• コインの進化はフィードフォワード則に従い、現在のコイン状態が直前のコイン状態の関数として決定され、記憶依存のダイナミクスを可能にする。
• 時間に依存するコイン演算子によってユニタリな時間発展が支配される1次元格子上でシステムをシミュレートする。このコイン演算子は非線形フィードバックを符号化している。
• 確率分布の解析を通じて輸送特性を特定し、特に時間に対する2次モーメントのスケーリングを評価する。
• モデルの連続的極限を多孔質媒体方程式と比較し、異常拡散領域を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子コイン操作にフィードフォワード依存性を導入することで、離散時間量子ウォークの輸送特性はどのように変化するか？
• RQ2 非線形な離散的量子ウォークモデルは、球状輸送の代わりに異常拡散を示すことができるか？
• RQ3 提案された非線形量子ウォークモデルの連続的類似物は何か？ そして、既知の非線形拡散方程式とどのように関係するか？
• RQ4 非線形フィードバック機構は、標準的量子ウォークとは根本的に異なる動的領域を引き起こすか？

主な発見

• 提案された非線形フィードフォワード量子ウォークモデルは、時間に対する2次モーメントのスケーリングが部分的球状（sub-ballistic）である、異常な遅い拡散を示す。
• 連続的極限において、拡散挙動は多孔質媒体方程式によって記述され、非線形拡散過程を示している。
• 標準的な離散時間量子ウォークが2次モーメントがt²に比例する球状輸送を示すのに対し、本モデルは2次モーメントがt^α（α < 2）に比例するため、部分的拡散ダイナミクスを示す。
• 非線形フィードバックが、標準的量子ウォークの線形性および時間並進不変性を破ることにより、異常拡散を誘発することが不可欠である。