[論文レビュー] Nonlinear Dynamics of Spins Coupled to an Oscillator

Paul Zech, A. Otto+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2020

Theoretical and Computational Physics参考文献 85被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ゼロ温度下での周期的駆動を受けた減衰する調和振動子と、ランダムな磁場に置かれたスピン二重子（スピン対として相互作用するイジングスピン）の非線形力学を調査する。スピン二重子をプレイサッハモデルで記述し、熱力学的極限をとることで、一般化されたプレイ作用素が得られ、その結果、フラクタルな吸引子を特徴とするカオス的挙動が生じる。特に、フラクタル次元と磁化が自己平均化されないことが判明し、有限スピン系とその熱力学的極限との間には根本的な違いがあることが示された。

ABSTRACT

Dynamische Systeme mit Gedächtnis spielen in verschiedensten Anwendungen und Forschungsgebieten eine wesentliche Rolle. Gedächtnis bedeutet dabei, dass das zukünftige Systemverhalten nicht nur durch den aktuellen Zustand festgelegt wird, sondern im Allgemeinen auch durch vergangenen Zustände. Ein prominenter Vertreter für dieses Verhalten ist die Hysterese. Aufgrund der unterschiedlichen Mechanismen, welche zum Auftreten von Hysterese führen können, haben sich eine Vielzahl an Modellen etabliert, um diese zu beschreiben und zu modellieren. Zwei häufig verwendete Modelle sind dabei das Random Field Ising-Model und das Preisach-Model. Beide Modelle unterscheiden sich grundlegend in der Art, wie es zu Hysterese kommt. Während beim Random Field Ising-Model Hysterese aufgrund der Wechselwirkung benachbarter Spins auftritt, benutzt das Preisach-Model hingegen eine Vielzahl an elementaren bistabilen Relais, um komplexes hysteretisches Verhalten abzubilden. Trotz dieser Unterschiedlichkeit zeigen beide Modelle ähnliche Eigenschaften wie return point memory und wipe-out. Wir wollen in dieser Arbeit das dynamische Verhalten eines einfachen harmonischen Oszillators untersuchen, welcher mithilfe eines Feedback-Loops an ein hysteretisches Spinsystem gekoppelt wird. Es soll das Verhalten dieses Hybrid-Systems, das sowohl aus kontinuierlichen als auch aus diskreten Variablen besteht, für verschieden große Spinsysteme untersucht werden. Wir konzentrieren uns dabei auf drei vereinfachte Spinkonfigurationen. Dies ermöglicht uns, unter Verwendung der Preisach-Theorie, den Limes eines unendlich großen Spinsystems analytisch zu beschreiben. Wir zeigen, dass sich das Verhalten von dynamischen Systemen gekoppelt an ein endliches Spinsystem im Allgemeinen von Systemen gekoppelt an ein unendliches Spinsystem unterscheidet. Im Zuge dessen werden wir eine Methode vorstellen, um Lyapunov Spektren für dynamische Systeme mit preisachartiger Hysterese und glatter Dichte zu bestimmen. Wir zeigen weiterhin, dass bestimmte relevante Größen wie fraktale Dimension und Magnetisierung im Allgemeinen kein selbstmittelndes Verhalten aufweisen. Diese Resultate können erhebliche Auswirkungen auf die Vergleichbarkeit und Interpretation von Theorie und Experiment bei dynamischen Systemen mit Hysterese haben.

研究の動機と目的

• 非ヒステリックなスピン-振動子系に関する先行研究を、スピン対間の相互作用を含めたものに拡張すること。
• スピン二重子が基本的ヒステリシスをどのように生成するかを調査し、これとプレイサッハモデルを結びつけること。
• 有限スピン系におけるカオス的ダイナミクスを分析し、熱力学的極限と比較すること。
• このような区分的滑らかでない系において、フラクタル次元と磁化が自己平均化されるかどうかを特定すること。
• 熱力学的極限において一般化されたプレイ作用素が、ヒステリック力としてどのように現れるかを確立すること。

提案手法

• ゼロ温度下で、ランダムな磁場に置かれたスピン二重子と結合する減衰的かつ周期的駆動を受けた調和振動子をモデル化する。
• スピン対の集団的ヒステリシスを表現するためにプレイサッハモデルを用い、熱力学的極限を可能にする。
• 無限個のスピン対の極限において、有効なヒステリック力として一般化されたプレイ作用素を導出する。
• 区分的滑らかでない力学系理論を適用し、不連続性と分岐を分析する。
• 数値積分と統計解析を用いて、リャプノフ指数、分岐図、フラクタル次元を計算する。
• 有限スピン系と熱力学的極限を比較することで、自己平均化の性質を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの相互作用するスピンが基本的ヒステリシスを示す条件は何か？
• RQ2 スピン二重子をどのようにプレイサッハモデルにマッピングすることで、複雑なヒステリシスを記述できるか？
• RQ3 スピン二重子結合を有する有限スピン系において、特にカオス的挙動として現れるダイナミクス的挙動は何か？
• RQ4 熱力学的極限は、有限系と比較してカオス的ダイナミクスをどのように変化させるか？
• RQ5 この区分的滑らかでないヒステリック系において、フラクタル次元と磁化は自己平均化される量か？

主な発見

• 数値計算により、非整数のフラクタル次元を持つカオス的吸引子が存在することが確認された。
• フラクタル次元と磁化が自己平均化されないことが判明し、系に強い有限サイズ効果があることが示された。
• 熱力学的極限では一般化されたプレイ作用素が得られ、ヒステリック力が振動子の運動方程式に統合された。
• 分岐図とリャプノフ指数により、有限系および無限系の両方で複雑な遷移とカオス的領域が明らかになった。
• 有限スピン系のダイナミクスは、熱力学的極限とは定性的に異なり、特にカオス的吸引子のスケーリングにおいて顕著な違いが見られた。
• スピン二重子から基本的ヒステリシスが生じ、プレイサッハモデルと同等に記述可能であり、制御された条件下で複雑なヒステリシスの研究が可能になった。