[論文レビュー] Nonlinear Electromagnetic Self-Duality and Legendre Transformations

Mary K. Gaillard, Bruno Zumino|ArXiv.org|Dec 10, 1997

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 1被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、4次元場の理論における非線形電磁自己双対性とレジェンドル変換の間の関係を確立し、ラグランジアンが適切に変換される場合に、連続的な双対性回転（Sp(2n,R)群によって生成される）が運動方程式を保存することを示している。主な結果は、連続的双対性下での自己双対理論が、レジェンドル変換に関して閉じた理論と等価であり、特にボーン＝インフェルト理論やダイロン＝アキソン結合理論の文脈において、SL(2,R)群構造が双対性から自然に導かれるということである。

ABSTRACT

We discuss continuous duality transformations and the properties of classical theories with invariant interactions between electromagnetic fields and matter. The case of scalar fields is treated in some detail. Special discrete elements of the continuous group are shown to be related to the Legendre transformation with respect to the field strengths.

研究の動機と目的

• 物質場を伴う古典的電磁気理論が連続的双対性回転に対していつ不変であるかを理解すること。
• 非線形電磁ラグランジアンの双対形式を関連付けるレジェンドル変換の役割を明確にすること。
• 連続的双対性下での自己双対理論が、レジェンドル変換に関して閉じた理論と等価であることを示すこと。
• スカラー・テンソル結合系において、双対性不変性とレジェンドル双対性の相互作用からSL(2,R)双対性群が自然に出現することを示すこと。
• 特にダイオンや離散的双対性群を伴う文脈において、超対称的および弦理論的文脈での自己双対性を理解するための枠組みを確立すること。

提案手法

• フィールド強度Fと双対フィールド強度Gに対する無限小双対性変換を導出し、Sp(2n,R)制約を満たす行列によってパrameter化する。
• 双対性変換の下でラグランジアンが特定の2次形式（FBF̃ + GCG̃）に変化することで運動方程式が保存されることを条件とする。
• φ₀とφ₁行列を用いた複素基底における双対性変換の表現を行い、実シンプレクティック変換をユニタリに似た構造に結びつける。
• ラグランジアンに対してレジェンドル変換を適用し、∂L/∂F = G̃/2により双対フィールド強度G̃を定義し、L − ¼F·G̃が双対性に対して不変であることを示す。
• 双対性とレジェンドル双対性の組み合わせが、特にスカラー場がτ = cSとして正規化されている場合に、完全なSL(2,R)不変性をもたらすことを示す。
• 関数的積分表現を用いて、量子論的レベルでのレジェンドル変換を、源項−½FFDを加えたFに関する積分として解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物質場を伴う古典的電磁気理論が、フィールド強度の連続的双対性回転に対していつ不変であるか。
• RQ2 非線形電磁力学における離散的双対性変換F → G, G → −Fと、レジェンドル変換はどのように関係しているか。
• RQ3 自己双対理論におけるSL(2,R)双対性群の実現において、スカラー場Sが果たす役割は何か。
• RQ4 L − ¼F·G̃が双対性に対して不変であるという性質が、SL(2,R)対称性の出現とどのように関係しているか。
• RQ5 経路積分正準化の文脈において、レジェンドル変換の量子力学的解釈は何か。

主な発見

• ラグランジアン自体は双対性に対して不変ではないが、変換行列がSp(2n,R)条件を満たす限り、L − ¼F·G̃の組み合わせは連続的双対性変換に対して不変である。
• レジェンドル変換は、フィールド強度Fを持つ理論を、フィールド強度Gを持つ双対理論に写像する。c=1のとき、双対ラグランジアンはL_D(S, G) = −L(−1/S, −G̃)を満たす。
• 連続的双対性とレジェンドル双対性の両方が閉じている場合、完全なSL(2,R)双対性群が出現し、生成子はτ → −1/τおよびτ → τ + 1である。
• エネルギー運動量テンソルは、計量に関するラグランジアンの変分導関数として定義されるため、双対性に対して不変であり、ラグランジアンの不変パrameter（例：結合定数）に関する微分も不変である。
• ダイオンが存在する場合、連続的SL(2,R)双対性は、τ → −1/τおよびτ → τ + 1によって生成される離散的SL(2,Z)部分群に縮小される。
• 量子経路積分表現では、レジェンドル変換が、源項−½FF_Dを加えたFに関する積分として実現され、有効場の理論における古典的双対性と量子的双対性を結びつける。