[論文レビュー] Nonlinear Expectations and Stochastic Calculus under Uncertainty

Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2010

Risk and Portfolio Optimization被引用数 84

ひとこと要約

この論文は、古典的確率論に代わって劣線形期待値を用いて曖昧な分布をモデル化する、モデル不確実性下での非線形期待値と確率的解析の新フレームワークを導入する。弱いi.i.d.仮定の下で、ロバストな大数の法則と中心極限定理を確立し、Gブラウン運動と完全に非線形な偏微分方程式（G方程式）が制限分布を記述することを示し、ロバストなファイナンスモデリングと不確実性の定量的評価のための厳密な基礎を提供する。

ABSTRACT

In this book, we introduce a new approach of sublinear expectation to deal with the problem of probability and distribution model uncertainty. We a new type of (robust) normal distributions and the related central limit theorem under sublinear expectation. We also present a new type of Brownian motion under sublinear expectations and the related stochastic calculus of Ito's type. The results provide robust tools for the problem of probability model uncertainty arising from financial risk management, statistics and stochastic controls.

研究の動機と目的

• モデル不確実性下でのロバストな確率的解析フレームワークを構築し、古典的確率論に代わって劣線形期待値を用いる。
• 基礎となる確率分布が曖昧または不正確な状況において、古典的大数の法則と中心極限定理を一般化する。
• データの不一致にもかかわらず実際の応用で正規分布が使われる理論的根拠を提供するため、分布不確実性下でG正規分布が自然に出現することを示す。
• モデル不確実性下での確率過程と2階完全に非線形な偏微分方程式（HJB方程式）、特にG方程式との関係を確立する。
• モデルの不確実性下でのリスク管理と金融価格設定に数学的に厳密かつ計算的に扱いやすいツールを提供する。

提案手法

• 集合 $\{P_\theta\}$ 上での上界期待値として、劣線形期待値 $\mathbb{E}[X] = \sup_{\theta \in \Theta} \mathbb{E}_\theta[X]$ を定義する。
• 弱いi.i.d.仮定の下で、$\mathbb{E}$-独立性と$\mathbb{E}$-同一分布の概念を導入し、分布が集合 $\{F_\theta(x)\}$ 内で有界であることを前提とする。
• 新しい大数の法則を確立：$\lim_{n\to\infty} \mathbb{E}[\varphi(S_n/n)] = \sup_{\underline{\mu} \leq v \leq \overline{\mu}} \varphi(v)$ であり、これはDirac測度の集合への収束を示している。
• ロバストな中心極限定理を導出：$\lim_{n\to\infty} \mathbb{E}[\varphi(S_n/\sqrt{n})] = \mathbb{E}[\varphi(X)]$ であり、$X$ は分散不確実性 $[\underline{\sigma}^2, \overline{\sigma}^2]$ を持つG正規分布に従う。
• G方程式 $\partial_t u + G(Du, D^2u) = 0$ を用いて制限分布をモデル化し、$G(a) = \frac{1}{2}(\overline{\sigma}^2 a^+ - \underline{\sigma}^2 a^-)$ であり、確率過程と完全に非線形PDEを結びつける。
• Krylov (2008) の正則性推定と粘性解理論を用いて、G方程式の解の存在とHölder連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基礎となる確率分布が曖昧または不正確な場合、古典的大数の法則はどのように一般化できるか？
• RQ2 分布不確実性下での正規化された和の制限分布は何か？ これは古典的正規分布とどのように異なるか？
• RQ3 固定された確率測度の下でのi.i.d.抽出を仮定せず、ロバストな中心極限定理を確立できるか？
• RQ4 モデル不確実性下での確率過程と完全に非線形PDEとの間にはどのような関係があるか？
• RQ5 G正規確率変数の関数の期待値はどのように計算できるか？ また、凸性と凹性は計算にどのような役割を果たすか？

主な発見

• ロバストな大数の法則により、$\mathbb{E}[\varphi(S_n/n)]$ が $\sup_{\underline{\mu} \leq v \leq \overline{\mu}} \varphi(v)$ に収束することを示し、標本平均が区間 $[\underline{\mu}, \overline{\mu}]$ に集中することを示している。
• ロバストな中心極限定理により、$\lim_{n\to\infty} \mathbb{E}[\varphi(S_n/\sqrt{n})] = \mathbb{E}[\varphi(X)]$ が成り立ち、$X \sim N(\{0\} \times [\underline{\sigma}^2, \overline{\sigma}^2])$ であるG正規分布に従う。
• 凸関数 $\varphi$ に対しては、$\mathbb{E}[\varphi(X)] = \frac{1}{\sqrt{2\pi\overline{\sigma}^2}} \int_{-\infty}^\infty \varphi(x) \exp(-x^2/(2\overline{\sigma}^2)) dx$ であり、凹関数の場合は $\overline{\sigma}^2$ を $\underline{\sigma}^2$ に置き換える。
• $\underline{\sigma} = \overline{\sigma} = \sigma$ の場合、G正規分布は古典的正規分布 $N(0, \sigma^2)$ に還元され、古典的CLTが回復される。
• $X$ の分布は、PDE $\partial_t u = G(u_{xx})$ の解 $u(t,x) = \mathbb{E}[\varphi(x + \sqrt{t}X)]$ によって特徴づけられ、$G(a) = \frac{1}{2}(\overline{\sigma}^2 a^+ - \underline{\sigma}^2 a^-)$ である。
• G方程式の解が、次元および強楕円型定数 $\varepsilon, K$ に依存する指数 $\alpha \in (0,1)$ のHölder連続性を示し、正則性と適切に定義された問題を保証する。