[論文レビュー] Nonlinear Fokker-Planck equations for Probability Measures on Path Space and Path-Distribution Dependent SDEs

Xing Huang, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、経路空間上の確率測度に対する経路-分布に依存するSDEを用いて、非線形Fokker-Planck方程式の解の存在、一意性、正則性を確立する。弱い係数条件のもとで、Harnack不等式、微分推定、Wasserstein連続性を導出し、古典的結果を経路依存で分布に依存する系へと拡張する。

ABSTRACT

By investigating path-distribution dependent stochastic differential equations, the following type of nonlinear Fokker--Planck equations for probability measures $(μ_t)_{t \geq 0}$ on the path space $\mathcal C:=C([-r_0,0];\mathbb R^d),$ is analyzed: $$\partial_t μ(t)=L_{t,μ_t}^*μ_t,\ \ t\ge 0,$$ where $μ(t)$ is the image of $μ_t$ under the projection $\mathcal C iξ\mapsto ξ(0)\in\mathbb R^d$, and $$L_{t,μ}(ξ):= \frac 1 2\sum_{i,j=1}^d a_{ij}(t,ξ,μ)\frac{\partial^2} {\partial_{ξ(0)_i} \partial_{ξ(0)_j}} +\sum_{i=1}^d b_i(t,ξ,μ)\frac{\partial}{\partial_{ξ(0)_i}},\ \ t\ge 0, ξ\in \mathcal C, μ\in \mathcal P^{\mathcal C}.$$ Under reasonable conditions on the coefficients $a_{ij}$ and $b_i$, the existence, uniqueness, Lipschitz continuity in Wasserstein distance, total variational norm and entropy, as well as derivative estimates are derived for the martingale solutions.

研究の動機と目的

• 経路空間上の確率測度に対する経路-分布に依存するSDEによって駆動される非線形Fokker-Planck方程式を分析すること。
• 弱い係数条件のもとで、マルティングール解の存在、一意性、正則性を確立すること。
• 測度の時間発展に関するWasserstein距離、全 Variation 範囲、エントロピーにおける定量的推定を導出すること。
• 経路依存で分布に影響を受ける拡散過程へとHarnackおよび微分推定を拡張すること。

提案手法

• 係数が現在の経路とその分布に依存する、経路空間 $\mathscr{C} = C([-r_0,0]; \mathbb{R}^d)$ 上の非線形Fokker-Planck方程式を定式化する。
• 経路-分布に依存するSDEを導入：$\text{d}X(t) = \bar{b}(t,X_t)\text{d}t + \sigma(t)\text{d}W(t)$、ここでドリフト項は経路セグメントの分布に依存する。
• 測度変換によるカップリング技法を用いて、関連する半群に対するHarnack不等式および微分推定を導出する。
• SDEの時間周辺分布の時間発展を用いて、経路測度上での非線形Fokker-Planck方程式 $\partial_t \mu_t = L_{t,\mu_t}^* \mu_t$ を定義する。
• $\sigma^{-1}$ および $\nabla b$ に条件を課し、有限な境界 $\Lambda(T)$ と $K(T)$ を保証することで勾配推定を可能にする。
• Rieszの表現定理を用いて、$\mathbb{H}^1$ 内の方向における測度の微分の $L^2$-正則性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた初期測度に対して、経路空間上の非線形Fokker-Planck方程式が、どのような条件下で一意なマルティングール解をもつか。
• RQ2 非線形Fokker-Planck力学的系において、Wasserstein距離、全 Variation 範囲、エントロピーはどのように時間発展するか。
• RQ3 記憶効果を有する経路-分布に依存するSDEに対して、Harnack型不等式を確立できるか。
• RQ4 解過程の分布に関する微分推定は何か、また係数構造にどのように依存するか。
• RQ5 初期経路のずれに対して、解過程の分布はどのように振る舞い、どのような正則性を有するか。

主な発見

• 本稿では、適切な係数条件のもとで、経路空間上の非線形Fokker-Planck方程式に対するマルティングール解の存在と一意性を確立する。
• Wasserstein距離、全 Variation 範囲、エントロピーにおける解写像のリプシッツ連続性を証明し、$\Lambda(T)$ と $K(T)$ に依存する明示的な境界を得る。
• Harnack不等式を導出：$ (P_T f)^p(\mu_0) \leq P_T f^p(\eta + \cdot)(\mu_0) \exp\left[ \frac{p \Lambda(T)(1 + T^2 K(T))}{(p-1)^2} \left( \frac{|\eta(-r_0)|^2}{T - r_0} + \|\eta\|_{\mathbb{H}^1}^2 \right) \right] $ for $p > 1$。
• エントロピーの上界を得る：$ \int \log \frac{d\mu_T(\cdot + \eta)}{d\mu_T} d\mu_T \leq \Lambda(T)(1 + T^2 K(T)) \left( \frac{|\eta(-r_0)|^2}{T - r_0} + \|\eta\|_{\mathbb{H}^1}^2 \right) $。
• 方向 $\eta \in \mathbb{H}^1$ に沿った測度 $\mu_T$ の微分が $\mu_T$ に関して絶対連続であり、そのRadon-Nikodym導関数が $ \int \left| \frac{d \partial_\eta \mu_T}{d \mu_T} \right|^2 d\mu_T \leq \Lambda(T)(1 + K(T)T^2) \left( \frac{|\eta(-r_0)|^2}{T - r_0} + \|\eta\|_{\mathbb{H}^1}^2 \right) $ を満たすことを示す。
• 測度変換によるカップリング法により、半群の微分の表現が得られる：$ \mathbb{E}(\nabla_\eta f)(X_T) = \mathbb{E}\left[ f(X_T) \int_0^T \big\langle \sigma(t)^{-1}(\Phi(t) - \nabla_{\Theta_t} b(t, \cdot, P_t^* \mu_0)(X_t)), dW(t) \big\rangle \right] $。