[論文レビュー] Nonlinear Fractional Dynamics of Lattice with Long-Range Interaction

Nick Laskin, G. M. Zaslavsky|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2005

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、長距離力に従う1次元格子における非線形力学の統一的枠組みを構築し、このような相互作用が連続極限において分数階微分方程式を生じることを示している。相互作用の指数 s < 3（s ≠ 1, 2）の場合、一般化されたサインゴルドン型、非線形シュレーディンガー型、およびヒルバート-シュレーディンガー型の式に分数階微分が現れるが、s ≥ 3 の場合、標準的な整数階微分方程式に回帰する。

ABSTRACT

A unified approach has been developed to study nonlinear dynamics of a 1D lattice of particles with long-range power-law interaction. A classical case is treated in the framework of the generalization of the well-known Frenkel-Kontorova chain model for the non-nearest interactions. Quantum dynamics is considered following Davydov’s approach for molecular excitons. In the continuum limit the problem is reduced to dynamical equations with fractional derivatives resulting from the fractional power of the long-range interaction. Fractional generalizations of the sine-Gordon, nonlinear Schrödinger, and Hilbert-Schrödinger equations have been found. There exists a critical value of the power s of the long-range potential. Below the critical value (s &amp;lt; 3, s ̸ = 1, 2) we obtain equations with fractional derivatives while for s ≥ 3 we have the well-known nonlinear dynamical equations with space derivatives of integer order. Long-range interaction impact on the quantum lattice propagator has been studied. We have shown that the quantum exciton propagator exhibits transition from the well-known Gaussian-like behavior to a power-law decay due to the long-range interaction. A link between 1D quantum lattice dynamics in the imaginary time domain and a random walk model has been discussed.

研究の動機と目的

• 非近接相互作用および長距離力に従うべき力の法則を含む、フレンケル＝コンタローヴァモデルの一般化。
• このような格子の連続極限における力学的方程式を導出し、分数階微分が現れる条件を特定すること。
• ダヴィドフの手法を用いて、長距離相互作用を有する格子における励起子の量子力学的挙動を調査すること。
• 虚時間における量子格子力学とランダムウォークモデルとの間の関係を確立すること。
• 長距離相互作用によって引き起こされる、量子励起子伝播関数のガウス的減衰からべき乗則的減衰への遷移を分析すること。

提案手法

• 指数 s でパrameter化された長距離力に従う1次元格子に連続極限を適用する。
• 離散的格子力学を分数階微分方程式に写像することで、有効な力学的方程式を導出する。
• 分数階微分の枠組みを用いて、古典的方程式（サインゴルドン、非線形シュレーディンガー、ヒルバート-シュレーディンガー）を一般化する。
• 格子内における量子励起子を、非線形ポテンシャル内にある準粒子としてモデル化するため、ダヴィドフの手法を適用する。
• 虚時間における量子伝播関数を分析することで、格子力学と確率的過程との関係を結ぶ。
• s = 3 に臨界閾値を特定し、分数階力学（s < 3）と整数階力学（s ≥ 3）を分ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長距離相互作用が1次元格子においていつ分数階力学的方程式を生じるか。
• RQ2 連続極限において、臨界値 s = 3 が分数階力学と整数階力学をどのように分離するか。
• RQ3 長距離相互作用が量子励起子伝播関数の減衰行動に与える影響は何か。
• RQ4 虚時間における量子格子力学はランダムウォークモデルとどのように関係するか。
• RQ5 この文脈において、サインゴルドン方程式および非線形シュレーディンガー方程式の分数階一般化は何か。

主な発見

• s < 3（s ≠ 1, 2）の場合、連続極限において分数階微分を含む力学的方程式が得られ、古典的方程式が一般化される。
• s ≥ 3 の場合、系は整数階空間微分を含む標準的な非線形力学的方程式に還元される。
• 長距離相互作用によって、量子励起子伝播関数のガウス的減衰からべき乗則的減衰への遷移が生じる。
• 連続極限において、サインゴルドン、非線形シュレーディンガー、ヒルバート-シュレーディンガー方程式の分数階一般化が導出される。
• 1次元量子格子力学（虚時間）と長距離相関を持つランダムウォークモデルとの間の関係が確立される。
• 臨界指数 s = 3 は、分数階力学と整数階力学の2つの力学的領域を分ける相転移境界として機能する。