[論文レビュー] Nonlinear GARCH model and 1/f noise

Aleksejus Kononovičius, Julius Ruseckas|RePEc: Research Papers in Economics|Dec 19, 2014

Financial Risk and Volatility Modeling被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、金融時系列における主要なスタイリズドファクトであるパワー則確率密度関数および1/fノイズのパワースペクトル密度（PSD）を再現する非線形なGARCH(1,1)モデルの修正を提案する。非線形GARCHプロセスから確率微分方程式（SDE）を導出し、それらが既知の1/f^β PSDを生成することが証明された非線形SDEのクラスと一致することを示した。数値シミュレーションにより、パラメータを適切に調整した場合、3つの周波数デケードにわたり1/fスペクトルが得られることを確認した。

ABSTRACT

Auto-regressive conditionally heteroskedastic (ARCH) family models are still used, by practitioners in business and economic policy making, as a conditional volatility forecasting models. Furthermore ARCH models still are attracting an interest of the researchers. In this contribution we consider the well known GARCH(1,1) process and its nonlinear modifications, reminiscent of NGARCH model. We investigate the possibility to reproduce power law statistics, probability density function and power spectral density, using ARCH family models. For this purpose we derive stochastic differential equations from the GARCH processes in consideration. We find the obtained equations to be similar to a general class of stochastic differential equations known to reproduce power law statistics. We show that linear GARCH(1,1) process has power law distribution, but its power spectral density is Brownian noise-like. However, the nonlinear modifications exhibit both power law distribution and power spectral density of the power law form, including 1/f noise.

研究の動機と目的

• 標準的なGARCH(1,1)モデルが1/fノイズ——金融時系列における主要なスタイリズドファクト——を再現できないという限界を是正すること。
• 非線形GARCHの修正が、パワー則PDFと1/f^β PSD（特に1/fノイズ）の両方を生成できるかどうかを調査すること。
• ARCHファミリーのモデルと、パワー則統計を生成することが知られている既存の非線形SDEの間のギャップを埋めること。
• 1/f PSDを介して長距離自己相関を捉える理論的根拠に基づいた、実証的に関連性のあるGARCHの変種を提供すること。

提案手法

• 微小時間ステップ近似（h → 0）を用いて、非線形GARCH(1,1)プロセスの連続時間拡散極限を導出する。
• 得られた離散時間GARCH方程式を、d y = [A y^{μ-1} + C y^{μ/2 - 1}] dt + |B| y^{μ/2} dW_t の形の確率微分方程式（SDE）に変換する。
• パワー則PDFと1/f^β PSDを生成することが知られた既存の非線形SDEクラスと照合し、パラメータλ = μおよびη = μ/2として特定する。
• 数値シミュレーションを用いて、非線形GARCHプロセスの統計的性質（特にPDFとPSD）を評価する。
• シミュレーションにおけるボラティリティの負値を回避するため、σ² = 0に反射境界条件を適用する。
• パラメータ（例：bとc）を調整してC ≈ 0とする。これにより、広い周波数範囲で明確な1/f PSDが得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形GARCH(1,1)プロセスの修正は、パワースペクトル密度（PSD）において1/fノイズを再現できるか？
• RQ2 これらの非線形GARCHモデルは、調整可能な指数を持つパワー則確率密度関数を生成するか？
• RQ3 非線形GARCHプロセスの拡散極限が、1/f^β PSDを生成することが知られているSDEのクラスと一致する条件は何か？
• RQ4 線形GARCH(1,1)モデルは、1/fノイズとパワー則統計を再現する上で、どのように比較されるか？
• RQ5 提案された非線形GARCHモデルは、金融時系列における長距離自己相関というスタイリズドファクトを再現できるか？

主な発見

• 線形GARCH(1,1)プロセスはパワー則PDFを生成するが、ブラウン運動的ノイズに類似したPSDを示し、1/fノイズを再現できない。
• 非線形GARCH(1,1)モデル、特に式(17)および(18)は、その拡散極限が既知の非線形SDEクラスと一致する場合、パワー則PDFと1/f^β PSDの両方を生成する。
• 数値シミュレーションにより、μ = 3でパラメータを調整（b ≈ 10⁻³、c ≈ 1.596 × 10⁻³）した場合、周波数の3デケードにわたり1/f PSDが得られることを確認した。
• PSD指数の解析的予測β = 1が、数値結果とよく一致しており、理論的枠組みの妥当性が裏付けられた。
• 非線形GARCHプロセスの定常状態PDFは指数λ = μのパワー則に従い、小値における発散を防ぐために境界条件により指数的カットオフが導入される。
• SDEにおける係数C ≈ 0とすることで、2次補正項が効果的に除去され、1/f行動が分離される。これにより1/fスペクトルが実現される。