[論文レビュー] Nonlinear Geometric Optics method based multi-scale numerical schemes for highly-oscillatory transport equations

Nicolas Crouseilles, Shi Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非線形幾何的光学アンザッツを用いて振動位相を独立変数に埋め込むことで、高振動的輸送方程式に対する新たな漸近保存的数値スキームを提案する。この手法は、波周期において一様な1次精度を達成し、高周波数の振動を解像しなくてもよく、εに依存しないメッシュおよび時間刻みで安定かつ正確なシミュレーションを可能にする。数値的検証により、複数のスケールで有効性が確認されている。

ABSTRACT

We introduce a new numerical strategy to solve a class of oscillatory transport PDE models which is able to captureaccurately the solutions without numerically resolving the high frequency oscillations {\em in both space and time}.Such PDE models arise in semiclassical modeling of quantum dynamics with band-crossings, and otherhighly oscillatory waves. Our first main idea is to use the nonlinear geometric optics ansatz, which builds theoscillatory phase into an independent variable. We then choose suitable initial data, based on the Chapman-Enskog expansion, for the new model. For a scalar model, we prove that so constructed model will have certain smoothness, and consequently, for a first order approximation scheme we prove uniform error estimates independent of the (possibly small) wave length. The method is extended to systems arising from a semiclassical model for surface hopping, a non-adiabatic quantum dynamic phenomenon. Numerous numerical examples demonstrate that the method has the desired properties.

研究の動機と目的

• 小波長εを解像しないで、高振動的輸送方程式の解を正確に捉える数値法を開発すること。
• 高周波数振動に対応するためにはΔx, Δt = O(ε)を要する標準的手法の計算不能性を克服すること。
• 幾何的光学の原則を組み込むことで、空間的および時間的振動問題に漸近保存的（AP）スキームを拡張すること。
• チャップマン＝エンスコの展開に基づく巧みな初期条件を用いることで、εに依存しない一様な誤差推定を保証すること。
• 非断熱的量子遷移を含む半古典的表面飛び移りモデルに現れる系にこの手法を適用すること。

提案手法

• 振動位相を独立変数τに変換する非線形幾何的光学（NGO）アンザッツを採用し、物理的空間および時間から高周波数振動を分離する。
• 位相依存係数を有する修正された輸送方程式に従う振幅関数Vのための新しい方程式系を導出する。
• 初期データはチャップマン＝エンスコ型展開を用いて構築され、元の問題の振動的構造と整合性を保ちつつ滑らかさを確保する。
• 空間離散化には時間分割スペクトル法を用い、輸送項および緩和項については正確な時間積分を実行するが、τにおける高速振動は擬スペクトル法で処理する。
• 系の場合、表面飛び移りをモデル化する2×2系に拡張可能であり、(x, p, τ)変数における系への変換と、τにおける正確な積分を実行する。
• εを解像しないで、粗いメッシュ（Δx ≫ ε）と固定時間刻みを用いるが、位相変数変換と適切な初期データのおかげで精度を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小波長εを解像しないで、輸送方程式の高振動的解を捉える数値スキームを設計可能か？
• RQ2 非線形幾何的光学アンザッツは、ε → 0 の極限において数値解の一様収束を可能にするか？
• RQ3 チャップマン＝エンスコ展開を用いて、変換された系において滑らかさと精度を保つ初期データを構築可能か？
• RQ4 表面飛び移りモデルのような非断熱遷移を含む系において、この手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ5 εを1/256にまで小さくした場合、標準的手法が計算的に不可能になる中で、この手法は精度と効率を維持できるか？

主な発見

• スカラー型モデルにおいて、波周期内での誤差推定がεに依存せず一様に1次精度に達し、Δx や Δt がεに比例する必要がないことを示した。これは、εに依存しない収束を証明する。
• ε = 1の場合、N_x = 32, N_p = 64, N_τ = 8 で、参考解（Δt = 0.05, N_x = 256）と同等の精度を達成し、CPU時間は15秒から1分に短縮された。
• ε = 1/32の場合、同じ粗いメッシュ（N_x = 32）で精度を維持したが、参考法ではΔt = 0.02、N_x = 512を必要とし、CPU時間は75秒に増加した。
• ε = 1/256の場合、新しい手法は固定パラメータ（Δt = 0.05, N_x = 32）で正確な結果を生成したが、参考法ではΔt = 0.0005、N_x = 4096を必要とし、CPU時間は1420秒にまで上昇した。
• 数値結果から、メッシュが空間振動よりも粗くても、点関数解および密度を正確に捉えられることを示した。
• 複雑な系、特に2×2表面飛び移りモデルに対しても、本手法は強健性とスケーラビリティを示し、εの複数オーダーの変動に対しても有効である。