[論文レビュー] Nonlinear interaction of waves in elastodynamics and an inverse problem

Maarten V. de Hoop, Günther Uhlmann+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Numerical methods in inverse problems被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非線形弾性の一般化された五定数モデルを用いて、非線形波干渉を弾性力学的に研究する。歪んだ平面波からの非線形応答の主記号を分析することで、変位から応力への写像が、各点における弾性定数 A, B, λ, μ を一意に特定できることを確立し、境界測定からの非線形逆問題を解く。

ABSTRACT

We consider nonlinear elastic wave equations generalizing Gol'dberg's five constants model. We analyze the nonlinear interaction of two distorted plane waves and characterize the possible nonlinear responses. Using the boundary measurements of the nonlinear responses, we solve the inverse problem of determining elastic parameters from the displacement-to-traction map.

研究の動機と目的

• 一般化された五定数モデルに従う非線形弾性媒体内における二つの歪んだ平面波の非線形干渉を特徴づけること。
• 非線形干渉によって生成可能な波モード（P, SV, SH）と、それらの応答が非ゼロとなる条件を特定すること。
• 境界測定値から非線形応答を用いて弾性定数 A, B, λ, μ を回復する逆問題を解くこと。
• 変位から応力への写像が、非線形応答の主記号を十分に符号化しており、全パラメータ同定が可能であることを確立すること。

提案手法

• 自由エネルギーの歪みテンソルにおける三次項展開に基づく、滑らかに空間的に変化するパラメータ λ, μ, A, B, C を有する一般化非線形弾性モデルを用いる。
• 幾何光学と微局所解析を用いて、波面が P 波および S 波の計量における測地線に従う歪んだ平面波解を構築する。
• 小さなパラメータ δ における漸近展開を用いて非線形干渉を分析し、一次の非線形応答が特定のラグランジュ多様体に共通する分布として特定されることを示す。
• エネルギー展開から導かれる歪みテンソルおよび応力に類似たテンソルを用いて、非線形応答の主記号を明示的に計算する。
• 逆問題を解くために、十分に大きな時刻 T₀ > 2·diam(Ω) における変位から応力への写像から非線形応答の主記号を抽出する。
• SV モード応答から λ + B および 2μ + ½A の値が得られ、線形化データ (λ, μ) と組み合わせることで、各点における A および B が一意に再構成可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された五定数モデル下で、P 波および S 波の入射波のどの組み合わせが、弾性力学における観測可能な非線形応答を生成するか？
• RQ2 非線形干渉が境界で検出可能な P, SV, または SH 波を生成する条件は何か？
• RQ3 変位から応力への写像は、三次元等方的媒体内において非線形弾性定数 A, B, λ, μ を一意に特定可能か？
• RQ4 非線形応答の主記号が、点における弾性定数に関する情報をどのように符号化しているか？
• RQ5 非線形応答が線形波の到着によって汚染されないよう保証するための最小測定時間は何か？

主な発見

• P + P → SH および P + SH → P の干渉は、λ + 2B + 3μ + A ≠ 0 のとき非ゼロである。
• P + SH → SH の干渉は、λ + 2μ + ½A + B ≠ 0 または μ + ½A + B ≠ 0 のとき一般に非ゼロである。
• P + SV → SV の干渉は、λ + B ≠ 0 または 2μ + ½A ≠ 0 のとき非ゼロである。
• 非線形応答における SV モード応答は、関心点における λ + B および 2μ + ½A の値を提供する。
• 線形化データ (λ, μ) と非線形応答記号を組み合わせることで、領域内の各点における A および B が一意に特定可能である。
• 変位から応力への写像を用いて、C が考慮された設定において、5つのパラメータ（λ, μ, A, B, C）の逆問題が解かれるが、C は一次の非線形応答に影響しない。