[論文レビュー] Nonlinear Interpolation and Total Variation Diminishing Schemes

François Dubois|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2010

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、スカラー保存則におけるヴァン・ルールスキームの凸性を保つ非線形補間フレームワークを提案し、$\ell^\infty \cap {\rm BV}$ における適切な定義を証明し、全 Variation 減少（TVD）性を満たす十分条件を確立する。非音速端点でも2次精度が達成されることを示し、適切な制限子制約のもとで2次精度ヘウン時間離散化においてもTVD性と2次精度が保たれることを示している。

ABSTRACT

The Van Leer approach for the approximation of nonlinear scalar conservation laws is studied in one space dimension. The problem can be reduced to a nonlinear interpolation and we propose a convexity property for the interpolated values. We prove that under general hypotheses the method of lines in well posed in $\ ell^{\infty} \cap { m BV} $ and we give precise sufficient conditions to establish that the total variation is diminishing. We observe that the second order accuracy can be maintained even at non sonic extrema. We establish also that both the TVD property and second order accuracy can be maintained after discretization in time with the second order accurate Heun scheme. Numerical illustration for the advection equation is presented.

研究の動機と目的

• ヴァン・ルールスキームのスカラー保存則における非線形補間の厳密な数学的枠組みを確立すること。
• 方法の線形化における全 Variation 減少（TVD）性を保証する十分条件を同定すること。
• 非音速端点においても2次精度が維持されることを証明すること、これはTVDスキームにおける知られた課題である。
• ヘウンスキームという2段階ルンゲ＝クッタスキームを用いた時間離散化スキームへ、TVD性および2次精度の性質を拡張すること。
• 移流方程式に対する数値実験を通じて理論的考察を検証すること。

提案手法

• 再構成値に凸性を保つ性質を持つ非線形補間問題としてヴァン・ルールスキームを定式化する。
• 空間離散化を連続的に時間的に扱うための線形化法（method of lines）を適用し、一般仮定のもとで $\\ell^\\infty \cap {\\rm BV}$ における適切な定義を保証する。
• 連続時間設定における解のTVD性を保証するための制限子関数に関する十分条件を導出する。
• 切り捨て誤差を解析し、非音速端点でも2次精度が維持されることを示す。
• 2次精度ヘウン時間積分スキームを適用し、TVD性および2次精度を両立させるために制限子に新たな制約を導出する。
• 移流方程式における数値実験でラグランジュ制限子を実装・検証し、メッシュの変化およびクーラン数の変化を考慮する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴァン・ルールスキームに凸性を保つ補間フレームワークを構築することで、安定性と精度を確保できるか？
• RQ2 スカラー保存則において、$\ell^\infty \cap {\rm BV}$ における線形化法が一般仮定のもとで適切に定義される条件は何か？
• RQ3 この補間に基づくスキームにおいて、一般仮定のもとでTVD性を厳密に証明できるか？
• RQ4 標準的なTVDスキームが劣化する可能性がある非音速端点においても、2次精度が維持されるか？
• RQ5 ヘウンスキームのような2段階ルンゲ＝クッタスキームによる時間離散化後でも、TVD性および2次精度を両立できるか？

主な発見

• 一般仮定のもとで、線形化法は $\ell^\infty \cap {\rm BV}$ において適切に定義され、数値解の安定性が保証される。
• 連続時間スキームにおけるTVD性を保証するための十分条件が導出された。
• 非音速端点においても2次精度が維持され、一部のTVDスキームに見られる既知の制限が解消された。
• 制限子関数が新たに導出された制約を満たす限り、ヘウンスキームはTVD性および2次精度を両方保持する。
• 数値実験により、ラグランジュ制限子では $L^\infty$ で2次収束が確認され、他の制限子では $L^1$ および $L^2$ でも2次収束が確認された。
• CFL数を小さくした場合（$\sigma = 1/4$）には、ヘウンスキームが端点でも2次切り捨て誤差を維持するが、$\sigma = 1/2$ の場合には1次に劣化する。これは時間刻み制限の重要性を示している。