[論文レビュー] Nonlinear Operator Superalgebras and BFV-BRST Operators for Lagrangian Description of Mixed-symmetry HS Fields in AdS Spaces

Alexander A. Reshetnyak|ArXiv.org|Dec 12, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、AdS空間内における二行ヤン・テーブルックスの混合対称性高スピン（HS）場のゲージ不変ラグランジアン形式を、BFV-BRST形式を用いて開発する。非線形スーパ algebra に第二類制約を含むものを、ヴェルマ型モジュールのフォック空間実現により、第一類制約を持つものに変換することで、ゴースト座標に関して3次のノンアービトルなBRST作用素を構成し、一般化スピン (s₁, s₂) を持つボソン的HS場の整合的かつ制約なしの記述を可能にする。

ABSTRACT

We study the properties of nonlinear superalgebras $\mathcal{A}$ and algebras $\mathcal{A}_b$ arising from a one-to-one correspondence between the sets of relations that extract AdS-group irreducible representations $D(E_0,s_1,s_2)$ in AdS$_d$-spaces and the sets of operators that form $\mathcal{A}$ and $\mathcal{A}_b$, respectively, for fermionic, $s_i=n_i+{1/2}$, and bosonic, $s_i=n_i$, $n_i \in \mathbb{N}_0$, $i=1,2$, HS fields characterized by a Young tableaux with two rows. We consider a method of constructing the Verma modules $V_\mathcal{A}$, $V_{\mathcal{A}_b}$ for $\mathcal{A}$, $\mathcal{A}_b$ and establish a possibility of their Fock-space realizations in terms of formal power series in oscillator operators which serve to realize an additive conversion of the above (super)algebra ($\mathcal{A}$) $\mathcal{A}_b$, containing a set of 2nd-class constraints, into a converted (super)algebra $\mathcal{A}_{b{}c}$ = $\mathcal{A}_{b}$ + $\mathcal{A}'_b$ ($\mathcal{A}_c$ = $\mathcal{A}$ + $\mathcal{A}'$), containing a set of 1st-class constraints only. For the algebra $\mathcal{A}_{b{}c}$, we construct an exact nilpotent BFV--BRST operator $Q'$ having nonvanishing terms of 3rd degree in the powers of ghost coordinates and use $Q'$ to construct a gauge-invariant Lagrangian formulation (LF) for HS fields with a given mass $m$ (energy $E_0(m)$) and generalized spin $\mathbf{s}$=$(s_1,s_2)$. LFs with off-shell algebraic constraints are examined as well.

研究の動機と目的

• AdS空間内における二行ヤン・テーブルックスを持つ混合対称性高スピン場の整合的かつゲージ不変なラグランジアン形式の開発。
• HS場の対称性代数における第二類制約を取り扱う課題を、それらを第一類制約に変換することによって解決する。
• 変換された代数に対して、非自明な3次ゴースト項を有するノンアービトルなBFV-BRST作用素を構成し、ゲージ不変性を保証する。
• オシレーター作用素を用いたフォック空間実現により、得られた代数をフォック空間に実現し、明示的に共変かつ制約なしの形式を可能にする。
• 既存の自由HS場に対する方法を一般化し、AdS空間内における非線形作用素スーパ algebra へのBFV-BRSTアプローチの拡張。

提案手法

• ボソン的およびフェルミオン的HS場のための作用素代数 $\mathcal{A}$ および $\mathcal{A}_b$ と、AdS群の既約表現関係との間の一対一対応を確立する。
• 形式的べき級数を用いたオシレーター作用素によるフォック空間実現を用いて、これらの代数のヴェルマモジュール $V_{\mathcal{A}}$ および $V_{\mathcal{A}_b}$ を構成する。
• 補助代数 $\mathcal{A}'_b$ を $\mathcal{A}_b$ に加えることで制約の変換を実行し、第二類制約を第一類制約に変換して $\mathcal{A}_{bc}$ を形成する。
• 変換された代数 $\mathcal{A}_{bc}$ に対して、ゴースト座標に関して3次の正確なノンアービトルなBFV-BRST作用素 $Q'$ を導出し、BRSTコホモロジーの閉包を保証する。
• スカラー積とオシレーター数およびゴースト数空間における分解を用いて、BRST作用素を通じたゲージ不変ラグランジアン形式を構築する。
• この手法を、AdS$_d$ 内の一般化スピン $\mathbf{s} = (s_1, s_2)$ と質量 $m$ を持つボソン的HS場の制約なしメトリック型形式に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AdS空間内における二行混合対称性HS場の対称性代数における第二類制約を、体系的に第一類制約に変換する方法は何か？
• RQ2 特に高次ゴースト項に注目した場合、二行混合対称性HS場から生じる非線形スーパ algebra のBFV-BRST作用素の構造はどのようなものか？
• RQ3 非線形（スーパ）代数のヴェルマモジュールがフォック空間に実現可能であるか、それは整合的かつゲージ固定されたラグランジアン形式の構築を可能にするか？
• RQ4 オシレーターに基づくフォック空間構成は、高スピン場の制約なしラグランジアン形式におけるゲージ不変性の実現に果たす役割は何か？
• RQ5 非線形代数 $\mathcal{A}_{bc}$ のジャコビ恒等式の閉包が、BRST作用素およびそれによって得られるラグランジアンの構造に与える影響は何か？

主な発見

• 変換された代数 $\mathcal{A}_{bc}$ に対して、ゴースト座標に関して3次のノンアービトルなBFV-BRST作用素 $Q'$ が明示的に構成され、非線形スーパ algebra のジャコビ恒等式の閉包が解決された。
• オシレーター作用素における形式的べき級数を用いた $\mathcal{A}$ および $\mathcal{A}_b$ のヴェルマモジュールのフォック空間実現が達成され、整合的な代数的枠組みが可能になった。
• 制約変換手順により、元の第二類制約を含む代数が、第一類制約のみを含む $\mathcal{A}_{bc}$ に変換され、ゲージ不変形式の構築が可能になった。
• 自由ボソン的混合対称性HS場の完全なゲージ不変ラグランジアン形式が、AdS$_d$ において二行ヤン・テーブルックスを持つ場合に、式 (43) および (44) によって導出された。
• この手法により、非線形作用素スーパ algebra へのBFV-BRSTアプローチがAdS空間内に一般化され、一般化スピン $\mathbf{s} = (s_1, s_2)$ を持つ高スピン場へと拡張された。
• このアプローチは、制約なしラグランジアンを体系的に構築するためのフレームワークを提供するが、フェルミオン的場のヴェルマモジュールおよびBRST作用素の明示的形は未解決の問題のままである。