[論文レビュー] Nonlinear optimization for matroid intersection and extensions

Yael Berstein, Jon Lee+2 more|ArXiv.org|Jul 24, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、凸性、ノルム、および目的関数 f のレイ射線凹性に着目し、適切に記述された可能解集合と固定または一進コード化された重み行列 W を仮定することで、マトロイド交叉や関連する組合せ的構造における非線形最適化のための効率的アルゴリズムを提示する。凸 f に対しては多項式時間の決定的アルゴリズムを確立し、ノルムおよびレイ射線凹関数に対しては定数倍近似を達成する。また、2つのマトロイドの共通基底上での一般 f に対しては確率的アルゴリズムを提示する。

ABSTRACT

We address optimization of nonlinear functions of the form $f(Wx)$, where $f:\R^d o \R$ is a nonlinear function, $W$ is a $d imes n$ matrix, and feasible $x$ are in some large finite set $F$ of integer points in $\R^n$. One motivation is multi-objective discrete optimization, where $f$ trades off the linear functions given by the rows of $W$. Another motivation is to extend known results about polynomial-time linear optimization over discrete structures to nonlinear optimization. We assume that the convex hull of $F$ is well-described by linear inequalities. For example, the set of characteristic vectors of common bases of a pair of matroids on a common ground set. When $F$ is well described, $f$ is convex (or even quasiconvex), and $W$ has a fixed number of rows and is unary encoded or with entries in a fixed set, we give an efficient deterministic algorithm for maximization. When $F$ is well described, $f$ is a norm, and binary-encoded $W$ is nonnegative, we give an efficient deterministic constant-approximation algorithm for maximization. When $F$ is well described, $f$ is ``ray concave'' and non-decreasing, and $W$ has a fixed number of rows and is unary encoded or with entries in a fixed set, we give an efficient deterministic constant-approximation algorithm for minimization. When $F$ is the set of characteristic vectors of common bases of a pair of vectorial matroids on a common ground set, $f$ is arbitrary, and $W$ has a fixed number of rows and is unary encoded, we give an efficient randomized algorithm for optimization.

研究の動機と目的

• 組合せ的構造（マトロイド、ポリマトロイド、割り当てなど）における多項式時間線形最適化の結果を非線形関数へ拡張すること。
• 一般非線形最適化の非効率性を克服するため、関数 f、行列 W、可能解集合 F の広いクラスを同定し、それらに対して効率的アルゴリズムが存在することを示すこと。
• f が凸、ノルム、またはレイ射線凹である場合に、適切に記述された F および固定または一進コード化された W の下で f(Wx) の最大化または最小化のための決定的および確率的アルゴリズムを提供すること。
• 特に置換行列およびマトロイドの共通基底に関する先行研究を、より広い関数および構造のクラスへ一般化すること。
• 一般非線形最適化が非効率的であっても、F の凸包に対する分離オракルが存在する場合に、アルゴリズムの実行可能性を確立すること。

提案手法

• 手法は、可能解集合 F が適切に記述されていること、つまりその凸包 conv(F) が効率的な分離オラクルを備えていることに依存する。
• 凸または準凸 f および固定された d に対して、一進コード化または有界エントリの W を仮定すると、反復的精錬とオラクルへのアクセスを用いた決定的アルゴリズムにより最適最大化が達成される。
• ノルムに基づく f および非負のバイナリコード化された W に対しては、ノルムの幾何学的および組合せ的性質を活用した決定的定数近似アルゴリズムが構築される。
• レイ射線凹かつ非減少 f および固定された d と一進／有界 W に対しては、レイ射線凹関数の構造的性質を用いた定数近似最小化アルゴリズムが開発される。
• 固定された d および一進コード化された W を有する2つのベクトル的マトロイドの共通基底上での一般 f に対しては、確率的アルゴリズムが用いられ、重みベクトルの確率的サンプリングにより最適 W-像を高確率で推定する。
• 確率的アルゴリズムは、ランダムサンプリングとランク条件に基づく再帰的プリーニング戦略を用いて、元の問題を n+1 個の部分問題に還元する。この戦略により、高い成功確率を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f が凸または準凸であり、W が固定された行数 d を持ち、一進コード化または有界エントリを持つ場合、マトロイド交叉上の非線形最適化は効率的に解けるか？
• RQ2 f がノルムであり、W が非負でバイナリコード化されている場合、f(Wx) の最大化に対して定数倍近似アルゴリズムは存在するか？
• RQ3 f がレイ射線凹かつ非減少であり、W が固定された d と一進／有界エントリを持つ場合、最小化問題は定数倍近似可能か？
• RQ4 f が任意の関数であっても、2つのマトロイドの共通基底上での一般非線形最適化問題は、確率的アプローチにより効率的に解けるか？
• RQ5 非線形マトロイド交叉問題は、効率的な計算を可能にするために、少数の部分問題にどのように還元できるか？

主な発見

• f が凸または準凸であり、固定された d と一進コード化または有界エントリの W を持つ場合、効率的な決定的アルゴリズムにより多項式時間で最大化問題が解ける。
• f がノルムであり、非負のバイナリコード化された W を持つ場合、決定的定数近似アルゴリズムにより多項式時間で最大化が達成される。
• レイ射線凹かつ非減少 f および固定された d と一進／有界 W を持つ場合、最小化問題に対する決定的定数近似アルゴリズムが提供される。
• 固定された d および一進コード化された W を持つ2つのベクトル的マトロイドの共通基底上での一般 f に対しては、確率的アルゴリズムにより多項式時間で最適解が確率 1/2 以上で得られる。
• この確率的アルゴリズムの成功確率は、n 回繰り返すことで 1−1/2^n に増幅可能であり、実行時間は線形増加にとどまる。
• ランダムサンプリングと組み合わせた反復的プリーニングによる部分問題への還元は、最適性を高い確率で保持する。