[論文レビュー] Nonlinear option pricing models for illiquid markets: scaling properties and explicit solutions

Ljudmila A. Bordag, Rüdiger Frey|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、流動性の低い市場におけるオプションプライシングをモデル化する非線形ブラック・ショールズ方程式に対する明示的解析解を開発する。市場の影響が資産価格を歪める状況において、対称性解析とスケーリング不変性を用いて、大規模な標的資産に対して非線形的成長を示す解を導出する。これは、流動性市場におけるものより高いヘッジコストを示唆する。

ABSTRACT

Several models for the pricing of derivative securities in illiquid markets are discussed. A typical type of nonlinear partial differential equations arising from these investigation is studied. The scaling properties of these equations are discussed. Explicit solutions for one of the models are obtained and studied.

研究の動機と目的

• 流動性の低い市場におけるデリバティブプライシングへの影響を、完全に非線形なブラック・ショールズ偏微分方程式のクラスを用いて分析すること。
• 流動性モデルに起因する非線形偏微分方程式のスケーリング特性および対称性還元を調査すること。
• 代表的な非線形オプションプライシングモデルに対する明示的不変解を導出すること。
• 標的資産価格がゼロまたは無限大に近づく際の解の漸近的挙動を検討すること。
• 特に端末ペイオフ構造およびヘッジコストへの影響という観点から、非線形解の挙動を線形ブラック・ショールズモデルと比較すること。

提案手法

• 本研究は、取引コストモデルから導かれる完全に非線形な放物型偏微分方程式に焦点を当てる。市場の影響により、ヘッジ戦略のデルタに二次的依存性が生じる。
• 対称性解析およびリー群法を用いて、スケーリング不変性を特定し、偏微分方程式を常微分方程式に還元する。
• スケーリング不変性から導かれる相似変数を用いて、定数でパラメータ化された解の族を構築する。
• 解の極端な標的資産価格（S → 0 および S → ∞）における挙動を分析し、漸近展開を導出する。
• 感応度およびギャンブル（例：デルタ）を計算・可視化し、モデルパラメータおよび時間依存性を検討する。
• 解のプロファイルを標準的なオプションペイオフ（例：コール・オプション）と比較することで、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 流動性の低い市場における非線形オプションプライシング偏微分方程式のスケーリング特性が、その解の構造に与える影響は何か？
• RQ2 対称性還元下での代表的な非線形ブラック・ショールズ方程式に対して、どのような明示的解が導出可能か？
• RQ3 S → 0 および S → ∞ の極限において、これらの解の漸近的挙動は線形ブラック・ショールズの場合とどのように異なるか？
• RQ4 導出された解は、コール・オプションやフォワワード取引のような標準的なオプションペイオフをどの程度正確に近似できるか？
• RQ5 非線形的成長パターンは、流動性の低い環境におけるヘッジコストおよび市場完全性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 解 $ u_{1}(S,t) $ は、$ S \to \infty $ のとき、$ u_{1}(S,t) \to \frac{3}{b} S \tan S + \text{低次の項} $ と漸近的になる。この主要項は時間および定数 $ c $ に依存しない。
• 解 $ u_{2}(S,t) $ および $ u_{3,2}(S,t) $ は、大規模な $ S $ に対して線形的に増加するが、係数は $ c $ に依存しており、線形シフトにより調整可能である。
• 小規模な $ S \to 0 $ のとき、解 $ u_{3,1}(S,t) $ は $ u_{3,1}(S,t) \sim \frac{-14}{b} S \ln S + \mathcal{O}(S) $ と振る舞い、主要項は $ t $ および $ c $ に依存しない。
• 非線形解は、$ S \to \infty $ のとき線形的成長を上回って成長するため、流動性の低い市場では線形ケースに比べてより高いヘッジコストを示す。
• 解のデルタ $ \Delta $ は、小規模な $ S $ に対して強い $ S $ 依存性を示し、$ S \to \infty $ の極限でのみ定数に近づく。
• 埋め込まれた定数 $ c $ および $ d $ を調整することで、明示的解はコール・オプションやフォワワード取引に類似したペイオフを近似可能であり、数値手法のベンチマークとして利用可能である。