[論文レビュー] Nonlinear parabolic stochastic evolution equations in critical spaces Part II. Blow-up criteria and instantaneous regularization

Antonio Agresti, Mark Veraar|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、多項式非線形項と臨界空間における粗い初期データを伴う非線形確率的放物型PDEにおける、新たな爆発基準と、正則性を求めるための画期的なブートストラップ法を確立する。確率的最大正則性および時刻重み付き関数空間を用いて、初期データに滑らかさがなくても、解のグローバル存在および即時滑らか化を証明する。Serrin型基準を確率的設定に拡張し、確率的ナビエ＝ストークス方程式やアラン＝コーエン方程式のようなSPDEの高階正則性を可能にする。

ABSTRACT

This paper is a continuation of Part I of this project, where we developed a new local well-posedness theory for nonlinear stochastic PDEs with Gaussian noise. In the current Part II we consider blow-up criteria and regularization phenomena. As in Part I we can allow nonlinearities with polynomial growth, and rough initial values from critical spaces. In the first main result we obtain several new blow-up criteria for quasi- and semilinear stochastic evolution equations. In particular, for semilinear equations we obtain a Serrin type blow-up criterium, which extends a recent result of Prüss-Simonett-Wilke (2018) to the stochastic setting. Blow-up criteria can be used to prove global well-posedness for SPDEs. As in Part I, maximal regularity techniques and weights in time play a central role in the proofs. Our second contribution is a new method to bootstrap Sobolev and Hölder regularity in time and space, which does not require smoothness of the initial data. The blow-up criteria are at the basis of these new methods. Moreover, in applications the bootstrap results can be combined with our blow-up criteria, to obtain efficient ways to prove global existence. This gives new results even in classical $L^2$-settings, which we illustrate for a concrete SPDE. In future works in preparation we apply the results of the current paper to obtain global well-posedness results, and regularity for several concrete SPDEs. These include stochastic Navier-Stokes, reaction diffusion equations, and Allen-Cahn equations. Our setting allows to put these SPDEs into a more flexible framework, where less restrictions on the nonlinearities are needed, and we are able to treat rough initial values from critical spaces. Moreover, we will obtain higher order regularity results.

研究の動機と目的

• 滑らかでない初期データを伴う臨界空間における準線形および半線形確率的発展方程式の爆発基準を確立すること。
• 滑らかでない初期データを仮定せず、時間および空間におけるソボレフ空間および Hölder 正則性をブートストラップする新しい正則化手法を開発すること。
• 爆発基準と正則化手法を組み合わせ、多項式非線形項を伴うSPDEのグローバル存在を証明すること。
• Serrin型の爆発基準を確率的設定に拡張し、最近の決定的結果を一般化すること。
• 滑らかでない初期値と非線形項の制限の少ない条件を許容する、SPDEのための柔軟な枠組みを提供すること。

提案手法

• 時刻重み付き関数空間を用いた確率的最大 $ L^p $-正則性理論を活用し、粗い初期データおよび一般非線形項を扱う。
• 確率的道具および確率的初期時刻を用いて、確率的設定における局所的well-posednessを確立する。
• 時間における重みを用いた画期的なブートストラップ技法を採用し、爆発基準から高階正則性を導出する。
• エネルギー型推定および臨界Besov空間およびSobolev空間における埋め込み定理を用いて爆発基準を導出する。
• 複素補間およびトレース理論を用いて、SPDEのスケーリング性質を反映する内在的臨界空間を同定する。
• 理論をアラン＝コーエン方程式や確率的ナビエ＝ストークス方程式などの具体的なSPDEに適用し、グローバル存在および正則性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式非線形項および臨界空間における粗い初期データを伴う半線形および準線形確率的PDEに対して、爆発基準を確立できるか？
• RQ2 滑らかでない初期データを仮定せず、時間および空間におけるソボレフ空間および Hölder 正則性をどのようにブートストラップできるか？
• RQ3 三次非線形項および色雑音を伴う1次元SPDEの正確な臨界空間は何か？スケーリングとはどのように関係するか？
• RQ4 ガウスノイズを伴うSPDEに対して、Serrin型の爆発基準を確率的設定に拡張できるか？
• RQ5 爆発基準と正則化技法の組み合わせにより、SPDEのグローバル存在結果をどのように得られるか？

主な発見

• 半線形SPDEに対してSerrin型の爆発基準が確立され、最近の決定的結果を確率的状況に拡張した。
• 三次非線形項および色雑音を伴う1次元SPDEの臨界空間は $ B^{rac{1}{q}-rac{1}{2}}_{q,p} $ であり、これは内在的かつスケーリング不変である。
• 1次元SPDEの解は、すべての $ r > 2 $ および $ heta ∈ [0,1/2) $ に対して、ほとんど確実に $ H^{ heta,r}_{ ext{loc}}(I_{ au};H^{1-s-2 heta,q}(×)) $ で正則性を示す。
• ブートストラップ法により即時正則化が可能である：解は初期時刻直後から、粗い初期データからでも正則性を獲得する。
• 爆発基準が満たされない限りグローバル存在が保証され、この手法は非線形項に制限の少ない確率的ナビエ＝ストークス方程式やアラン＝コーエン方程式に適用可能である。
• 演算子が $ (t,\omega) $ に対して可測であることを許容し、ノイズに小規模性の仮定を必要とせず、非線形項に多項式成長を許容するため、適用範囲が拡張される。