[論文レビュー] Nonlinear QM as a fractal Brownian motion with complex diffusion constant

Carlos Castro, Jorge Mahecha+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 5被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、複素拡散定数を有するフラクタル・ブラウン運動モデルから、非線形シュレーディンガー方程式（NLSE）を導出しており、実数値のエネルギーおよび運動量の平面波およびソリトン解が得られる。主な貢献は、量子力学的エネルギー関数形が、場の理論的エネルギー関数形と正確に一致することであり、これにより従来の非線形量子力学モデルとは明確に区別される。

ABSTRACT

A new nonlinear Schroedinger equation is obtained explicitly from the fractal Brownian motion of a massive particle with a complex-valued diffusion constant. Real-valued energy (momentum) plane wave and soliton solutions are found in the free particle case. The hydro-dynamical model analog yields another (new) nonlinear QM wave equation with physically meaningful soliton solutions. One remarkable feature of this nonlinear Schroedinger equation based on a fractal Brownian motion model, over all the other nonlinear QM models, is that the quantum-mechanical energy functional coincides with the field theory one.

研究の動機と目的

• 複素拡散定数 $ D = rac{ar{h}}{2m} $ を有するフラクタル・ブラウン運動モデルから、新たな非線形シュレーディンガー方程式を導出すること。
• 特にエネルギー関数形および同次性に関して、既存の非線形量子力学モデルにおける物理的整合性の欠如を解消すること。
• 非エルミート的ハミルトニアンを有するにもかかわらず、自由粒子系において実数値のエネルギーおよび運動量解（平面波およびソリトン）が存在することを示すこと。
• 本モデルにおける量子力学的エネルギー関数形が、正確に場の理論的エネルギー関数形と一致することを示すこと。これは、非線形量子力学的手法の中で唯一の特徴である。
• スケール相対性およびフラクタル時空の文脈において、複素拡散定数に起因する非線形性の物理的解釈を検討すること。

提案手法

• ノターレとオルドの量子力学をフラクタル・ブラウン運動として定式化する枠組みを拡張し、複素数値の拡散定数 $ D = rac{ar{h}}{2m} $ を導入することで非線形性を導入する。ここで $ ar{h} = ar{h}_0 + ieta $ である。
• フラクタル時空の文脈において、複素微分作用素および確率的力学を用いて、一般化されたニュートン則から基本的な非線形シュレーディンガー方程式を導出する。
• フラクタルに基づくNLSEに対して流体力学的アナロジーを適用し、ハミルトニアンがエルミート的で、$ abla ext{ln}(rac{ ho}{ ho^*}) abla ext{ln}(rac{ ho^*}{ ho}) $ を含む非線形ポテンシャル項を有する第二の新しいNLSEを導出する。
• $ 2mD = ar{h} $ の条件を用い、$ ar{h} $ が複素数であることに基づいて、フラクタルから非フラクタルな領域への遷移を定義する。ここで $ ar{h}_0 $ は標準的プランク定数に対応する。
• 平面波およびソリトン解 $ ho o [F(x-Vt) + iG(x-Vt)]e^{ipx/ar{h} - iEt/ar{h}} $ を解析し、正しい分散関係 $ E = p^2/(2m) $ を満たすことを示す。
• 波動関数を $ ho' = e^{iS/ar{h}} $ と再定義することで、標準的線形シュレーディンガー方程式が回復されることを示し、非線形性が波動関数の定義に起因するものではなく、$ ar{h} $ が複素数であることに起因することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素拡散定数を有するフラクタル・ブラウン運動モデルから非線形シュレーディンガー方程式を導出できるか？また、物理的に意味のある解が得られるか？
• RQ2 本非線形量子力学的モデルにおけるエネルギー関数形は、主張されるように、場の理論的エネルギー関数形と正確に一致するか？
• RQ3 非エルミート的ハミルトニアンを有する系において、実数値のエネルギーおよび運動量の平面波およびソリトン解はどのようにして出現するのか？
• RQ4 拡散定数の虚数部 $ eta $ にはどのような物理的意義があり、非線形量子力学における非線形性とどのように関係するのか？
• RQ5 他のNLSEとは異なり、本モデルの非線形項はなぜワインバーグの同次性条件を破らないのか？

主な発見

• 基本的な非線形シュレーディンガー方程式は、複素拡散定数 $ 2mD = ar{h} = ar{h}_0 + ieta $ を有するフラクタル・ブラウン運動から導出され、非エルミート的ハミルトニアンを有する。
• 非エルミート的ハミルトニアンを有するにもかかわらず、自由粒子系において実数値のエネルギーおよび運動量の平面波およびソリトン解が存在し、$ E = p^2/(2m) $ を満たす。
• 本モデルにおける量子力学的エネルギー関数形は、正確に場の理論的エネルギー関数形と一致する。これは、他の非線形量子力学的モデルでは見られない独自の特徴である。
• フラクタルに基づくNLSEの流体力学的アナロジーにより、ハミルトニアンがエルミート的で、非線形ポテンシャル項 $ rac{aar{h}^2}{8m^2} abla ext{ln}(rac{ ho}{ ho^*}) abla ext{ln}(rac{ ho^*}{ ho}) $ を有する新たなNLSEが得られる。
• 非線形性は波動関数の定義の結果ではない。$ ho' = e^{iS/ar{h}} $ と再定義することで、標準的線形シュレーディンガー方程式が回復され、非線形性が複素数 $ ar{h} $ に起因することを証明する。
• 拡散定数の虚数部 $ eta $ は、非線形量子力学における非線形性の物理的特徴として解釈され、現在の実験ではまだ観測可能でない。