[論文レビュー] Nonlinear scalar field equations with $L^2$ constraint: Mountain pass and symmetric mountain pass approaches

Jun Hirata, Kazunaga Tanaka|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$L^2$ 約束付き非線形スカラー場方程式の回転対称解の存在を、新しいラグランジュ形式化と修正されたパライス・スメール条件を用いて確立する。一般の亜臨界定常非線形性のもとで $m > m_0$ のとき少なくとも1つの解の存在を示し、最小エネルギー準位のマウンテンパス特徴付けを提供する。これは、制約多様体上のミニマックス法による先行研究の拡張である。

ABSTRACT

We study the existence of radially symmetric solutions of the following nonlinear scalar field equations in ${\mathbb R}^N$ ($N\geq 2$): $$ (*)_m \left\{ \eqalign{ -&Δu = g(u) -μu \quad \hbox{in}\ {\mathbb R}^N, \cr &\| u\|_{L^2({\mathbb R}^N)} = m, \cr &u \in H^1({\mathbb R}^N), \cr} ight. $$ where $g(ξ)\in C({\mathbb R},{\mathbb R})$, $m>0$ is a given constant and $μ\in {\mathbb R}$ is a Lagrange multiplier. We introduce a new approach using a Lagrange formulation of the problem $(*)_m$. We develop a new deformation argument under a new version of the Palais-Smale condition. For a general class of nonlinearities related to [BL1, BL2, HIT], it enables us to apply minimax argument for $L^2$ constraint problems and we show the existence of infinitely many solutions as well as mountain pass characterization of a minimizing solution of the problem: $$ \inf\left\{ \int_{{\mathbb R}^N} {1\over 2}| abla u|^2 - G(u)\, dx;\, \| u\|_{L^2({\mathbb R}^N)}^2 = m ight\}, \quad G(ξ)=\int_0^ξg(τ)\, dτ. $$

研究の動機と目的

• 非線形スカラー場方程式の $L^2$ 約束付き解の回転対称解の存在を、$\mathbb{R}^N$ ($N \geq 2$) 上で一般の非線形性のもとで確立すること。
• $L^2$-制約問題に特化した、修正されたパライス・スメール条件に適合した新しい変形補題を構築すること。
• 問題のラグランジュ形式化を通じて、最小エネルギー準位 $\mathcal{I}_m$ のマウンテンパス特徴付けを提供すること。
• $g(\xi)$ が奇関数であるという追加仮定のもとで、無限個の解への存在結果を拡張すること。
• $m > m_0$ がかつなく $\mathcal{I}_m < 0$ であることと同値であることを示すこと。ここで $m_0$ は閾値質量である。

提案手法

• 問題を $\mathbb{R} \times H_r^1(\mathbb{R}^N)$ 上のラグランジュ汎関数 $\mathcal{L}(\mu, u) = \frac{1}{2}\int |\nabla u|^2 - \int G(u) + \frac{\mu}{2}(\|u\|_{L^2}^2 - m)$ として定式化する。
• 問題の $L^2$ 約束およびスケーリング性質に適合した、$L^2$-制約問題に特化した新しいパライス・スメール条件のバージョンを導入する。
• ラグランジュ汎関数に対してミニマックス法（マウンテンパスおよび対称的マウンテンパス法）を適用し、臨界点を求める。
• Hirata-Ikoma-Tanaka および Jeanjean のインスピレーションを受けて、ポホジャエフ型恒等式を持つスケーリング論法を用いて、パライス・スメール系列を生成する。
• 被覆次元理論と変形補題を用いて、$g(\xi)$ の奇関数性のもとでコンパクト性および複数解の存在を証明する。
• 与えられた仮定のもとで、マウンテンパス準位 $b_{mp}$ が最小エネルギー準位 $\mathcal{I}_m$ と一致することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^2$-制約付き非線形スカラー場方程式において、マウンテンパス準位 $b_{mp}$ は最小エネルギー準位 $\mathcal{I}_m$ と一致するか？
• RQ2 $L^2$ 約束のもとで最小化系列のコンパクト性を保証するため、新しいパライス・スメール条件を定式化できるか？
• RQ3 $L^2$-制約付き問題 $(*)_{m}$ がすべての $m > 0$ に対して少なくとも1つの解をもつための条件は何か？
• RQ4 $g(\xi)$ が奇関数である場合に、無限個の回転対称解の存在を示せるか？
• RQ5 解の存在が $m > m_0$ であるための正確な閾値 $m_0$ は何か？ また、$\mathcal{I}_m$ の符号とどのように関係しているか？

主な発見

• $m > m_0$ のとき、問題 $(*)_{m}$ は少なくとも1つの回転対称解をもつ。ここで $m_0 \in [0, \infty)$ は非線形性に依存する閾値質量である。
• $\lim_{\xi \to 0} \frac{g(\xi)}{|\xi|^{4/N}\xi} = \infty$ ならば、$m_0 = 0$ であり、すべての $m > 0$ に対して解が存在することを意味する。
• マウンテンパス準位 $b_{mp}$ は最小エネルギー準位 $\mathcal{I}_m$ と等しく、これは基底状態解のミニマックス的特徴付けを提供する。
• $m > m_0$ がかつなく $\mathcal{I}_m < 0$ であることと同値である。これは解の存在閾値と最小エネルギーの符号の関係を示す。
• $g(-\xi) = -g(\xi)$ という奇関数性の仮定のもとで、問題は無限個の回転対称解をもつ。
• 修正されたパライス・スメール条件のもとでの新しい変形補題により、パライス・スメール系列の収束が保証され、$L^2$-制約付き問題へのミニマックス法の適用が可能になる。