[論文レビュー] Nonlinear SDEs driven by Lévy processes and related PDEs

Benjamin Jourdain, Sylvie Méléard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 68

ひとこと要約

本稿は、解の法則に関して非線形なLipschitz連続係数を許容する、Lévy過程によって駆動される非線形確率微分方程式（SDE）を研究する。古典的なMcKean-Vlasovモデルを一般化し、解の法則に関して非線形性を許容する。緩い条件下での解の存在と一意性を確立し、確率的変分法を用いて時刻周辺分布の絶対連続性を証明し、主要結果として分数ラプラシアンを含む非線形Fokker-Planck方程式を導出する。これにより、粒子系と非局所PDEの間の関係が明確化される。

ABSTRACT

In this paper we study general nonlinear stochastic differential equations, where the usual Brownian motion is replaced by a Lévy process. We also suppose that the coefficient multiplying the increments of this process is merely Lipschitz continuous and not necessarily linear in the time-marginals of the solution as is the case in the classical McKean-Vlasov model. We first study existence, uniqueness and particle approximations for these stochastic differential equations. When the driving process is a pure jump Lévy process with a smooth but unbounded Lévy measure, we develop a stochastic calculus of variations to prove that the time-marginals of the solutions are absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. In the case of a symmetric stable driving process, we deduce the existence of a function solution to a nonlinear integro-differential equation involving the fractional Laplacian.

研究の動機と目的

• ブラウン運動を一般のLévy過程に置き換え、解の法則に関して非線形性を許容することで、McKean-Vlasovモデルを一般化すること。
• 古典的モデルよりも弱いLipschitz条件の下で、Lévy過程によって駆動される非線形SDEの解の存在と一意性を確立すること。
• 駆動過程が滑らかで有界でないLévy測度を持つ純跳躍Lévy過程である場合、解の時刻周辺分布がLebesgue測度に関して絶対連続であることを証明すること。
• 駆動過程が対称α安定Lévy過程である場合、解密度に関して分数ラプラシアンを含む非線形積分微分方程式としてFokker-Planck方程式を導出すること。
• 非線形SDEのための確率的粒子系近似を提示し、次元依存の収束率を伴う混沌の伝搬を確立すること。

提案手法

• SDEを $ X_t = X_0 + \int_0^t \sigma(X_{s^-}, P_s) dZ_s $ として定式化し、$ Z_t $ をLévy過程とし、$ P_s $ を $ X_s $ の法則とする。
• 確率測度上のWasserstein空間における固定点定理を用い、$ \sigma $ が確率測度上のVaserstein距離に関してLipschitz連続である条件の下で解の存在と一意性を証明する。
• 初期データおよびLévy過程の二階モーメントの仮定を緩和するため、Wasserstein距離の有界版 $ d_1 $ を導入する。
• 跳躍が無限大である一般のLévy過程によって駆動されるSDEに対して、Bichteler-JacodおよびBismutの手法を一般化した確率的変分法を構築する。
• 変分法を適用し、$ \sigma $ およびLévy測度が滑らかで有界である条件の下で、時刻周辺分布 $ P_t $ がLebesgue密度をもつことを証明する。
• 対称α安定Lévy過程を駆動源とする場合、非線形Fokker-Planck方程式 $ \partial_t p_t(x) = D_x^\alpha(|\sigma(\cdot, p_t)|^\alpha p_t)(x) $ を導出する。ここで $ D_x^\alpha $ は分数ラプラシアンを表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数 $ \sigma $ が測度変数に関して線形ではなく、法則に関してのみLipschitz連続である場合、Lévy過程によって駆動される非線形SDEが一意解をもつための条件は何か？
• RQ2 滑らかで有界でないLévy測度を持つ純跳躍Lévy過程を駆動源とする場合、その解の時刻周辺分布がLebesgue測度に関して絶対連続であることを示せるか？
• RQ3 駆動Lévy過程が対称α安定分布である場合、対応する非線形Fokker-Planck方程式は何か？
• RQ4 一般のLipschitz条件の下で、粒子系近似における混沌の伝搬の収束速度は空間次元にどのように依存するか？
• RQ5 非線形拡散項に畳み込みを含む分数ポーラス媒体方程式を物理的に妥当な確率的粒子系で近似できるか？

主な発見

• 非線形SDE (1) は、$ \sigma $ が $ \mathbb{R}^k $ 上の確率測度空間 $ \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^k) $ におけるユークリッド距離とVaserstein距離の積に関してLipschitz連続である限り、解が一意に存在する。$ \sigma $ が測度変数に関して線形でない場合でも成立する。
• 滑らかで有界でないLévy測度を持つ純跳躍Lévy過程を駆動源とする場合、$ \sigma $ がLipschitz連続かつ第一引数に関して有界な微分をもつならば、時刻周辺分布 $ P_t $ はLebesgue測度に関して絶対連続である。
• 駆動過程が対称α安定分布である場合、解密度 $ p_t $ は非線形Fokker-Planck方程式 $ \partial_t p_t(x) = D_x^\alpha(|\sigma(\cdot, p_t)|^\alpha p_t)(x) $ を満たす。ここで $ D_x^\alpha $ は分数ラプラシアンを表す。
• 粒子系における混沌の伝搬の収束速度は、一般に $ C/\sqrt{n} $ ではない。古典的McKean-Vlasovモデルとは異なり、空間次元 $ k $ に依存する。
• 非線形項に畳み込みを含む非線形SDEを構築することで、分数ポーラス媒体方程式の確率的近似スキームを提供し、分数ラプラシアンを含む物理的に妥当なモデルを導出する。
• 非線形Fokker-Planck方程式の解の存在は、対応するSDEの解の存在およびその有限次元分布の絶対連続性を用いて確立される。