[論文レビュー] Nonlinear Sigma Models and Symplectic Geometry on Loop Spaces of (Pseudo)Riemannian Manifolds

O. I. Mokhov|ArXiv.org|Jan 12, 1993

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、量子場の理論における非線形シグマ模型と(擬)リーマン多様体のループ空間上のシンプレクティック構造の間の幾何的枠組みを確立する。シグマ模型の作用関数を分析することで、著者はそのハミルトニアン力学が自由ループ空間上に自然にシンプレクティック幾何を誘導することを示し、量子場の理論と無限次元シンプレクティックトポロジーの間の内因的な関係を明らかにする。

ABSTRACT

In this paper we consider symplectic and Hamiltonian structures of systems generated by actions of sigma-model type and show that these systems are naturally connected with specific symplectic geometry on loop spaces of Riemannian and (pseudo)Riemannian manifolds.

研究の動機と目的

• 非線形シグマ模型型の作用から生じるシンプレクティック構造およびハミルトニアン構造を調査すること。
• 非線形シグマ模型と多様体の自由ループ空間上のシンプレクティック幾何の間の幾何的対応関係を確立すること。
• この対応関係がシグマ模型の力学および量子化に与える影響を探索すること。
• ループ空間が非線形シグマ模型の位相空間構造をどのように記述するかを形式化すること。
• 無限次元シンプレクティック幾何を用いた量子場理論を理解するための微分幾何的基盤を提供すること。

提案手法

• 非線形シグマ模型の作用原理を、(擬)リーマン的標的多様体上で出発点とする。
• シグマ模型の位相空間を標的多様体の自由ループ空間として構成する。
• 基底多様体の計量と接続から導かれる自然なシンプレクティック構造をループ空間に導入する。
• シグマ模型作用に対するハミルトニアン形式を適用し、保存量とシンプレクティック形式を同定する。
• ループ空間上の関数に誘導されるポアソン括弧構造を分析する。
• ループ空間上のシンプレクティック形式が、変分法を介してシグマ模型作用の運動エネルギー項から生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形シグマ模型の作用関数から、ループ空間上のシンプレクティック構造はどのように生じるか？
• RQ2 標的多様体のリーマン的（または擬リーマン的）構造とそのループ空間上のシンプレクティック構造との間の正確な幾何的関係は何か？
• RQ3 非線形シグマ模型のハミルトニアン力学は、無限次元シンプレクティック幾何の枠組み内で完全に記述可能か？
• RQ4 標的多様体の計量接続は、ループ空間上のシンプレクティック形式を定義するために果たす役割は何か？
• RQ5 ループ空間上のシンプレクティック構造は、シグマ模型の物理的自由度をどのように反映するか？

主な発見

• 非線形シグマ模型の位相空間は、自然に標的(擬)リーマン多様体の自由ループ空間と同一視される。
• 標的多様体の計量とリーマン・クリスティオフェル接続から、ループ空間に標準的なシンプレクティック構造が誘導される。
• ループ空間上のシンプレクティック形式は、変分原理を介してシグマ模型作用の運動エネルギー項から生じる。
• ループ空間上のハミルトニアンベクトル場は、シグマ模型の運動方程式に対応する。
• ループ空間上の代数におけるポアソン括弧は、シグマ模型の場の正準交換関係を符号化している。
• この構成により、量子場の理論と無限次元シンプレクティックトポロジーの間のきめ細かな幾何的ブリッジが確立される。