[論文レビュー] Nonlinear splittings on fibre bundles

S. Hajdú, Tom Mestdag|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2021

Advanced Differential Geometry Research参考文献 42被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、水平部分空間への線形性を要請しない非線形なファイバー束上の分割を、Ehresmann接続の一般化として導入する。非線形分割に対して曲率写像を定義し、アフィン制約や磁気力を持つラグランジュ系におけるその役割を示す。曲率が消えると、第二種微分方程式が準同型になり、底多様体上での縮約された力学が得られることを示している。

ABSTRACT

We introduce the notion of a nonlinear splitting on a fibre bundle as a generalization of an Ehresmann connection. We present its basic properties and we pay attention to the special cases of affine, homogeneous and principal nonlinear splittings. We explain where nonlinear splittings appear in the context of Lagrangian systems and Finsler geometry and we show their relation to Routh symmetry reduction, submersive second-order differential equations and unreduction. We define a curvature map for a nonlinear splitting, and we indicate where this concept appears in the context of nonholonomic systems with affine constraints and Lagrangian systems of magnetic type.

研究の動機と目的

• 水平部分空間への線形性の要請を緩和することで、Ehresmann接続の概念を一般化し、非線形分割を導くこと。
• 非線形分割に対して曲率を定義・研究すること。特に、アフィン非ホロノミック制約や磁気ラグランジュ系の文脈において。
• ファイバー正則ラグランジュ関数から非線形分割が生じる条件を確立し、それらを対称性の縮約および準同型第二種微分方程式に関連付けること。
• フィンスラー幾何学における同次非線形分割の幾何的意義を探索し、測地線の再パラメトライゼーションおよびフィンスラー準同型写像との関係を明らかにすること。

提案手法

• 非線形分割を、滑らかでファイバーを保存し、Tπに適合する写像 h: π*TN → TM として定義する。その像 H = Im h は TM の水平部分多様体をなす。
• 陰関数定理を用いて、ファイバー正則ラグランジュ関数から非線形分割を構成し、Legendre変換により水平分布が適切に定義されることを保証する。
• 水平分布の非積分可能性から導かれる曲率写像 R̄ を導入し、Ehresmann接続の曲率を一般化する。
• 形式的枠組みを、磁気項を含むラグランジュ系およびアフィン制約を持つ力学系に適用し、曲率が消えると準同型性と底多様体上での力学の分離が生じることを示す。
• 誘導される非線形分割が同次的である条件を確立し、特に2+-同次ラグランジュ関数（例：フィンスラー計量のエネルギー）に対して成立することを示す。
• 結果をRouthおよびLagrange-Poincaré縮約と関連付け、適切な対称性および曲率条件の下で、全空間上の解が縮約された底多様体上での解に射影されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ehresmann接続の概念を、水平部分空間への線形性を要請しない非線形分割へと、ファイバー束上でどのように一般化できるか。
• RQ2 特にアフィン制約や磁気力を持つ系において、非線形分割の曲率の幾何的・力学的意義は何か。
• RQ3 ファイバー正則ラグランジュ関数が、同次的または主接続に対応する非線形分割を誘導する条件は何か。
• RQ4 非線形分割は、機械的系におけるRouthおよびLagrange-Poincaré縮約のような対称性の縮約技法とどのように関係するか。
• RQ5 フィンスラーエネルギー関数に対する同次非線形分割は、測地線のパラメトライゼーションの不変性や準同型写像構造をどのように保存するか。

主な発見

• 非線形分割は、滑らかでファイバーを保存し、Tπに適合する写像 h: π*TN → TM として定義され、その像が TM の部分多様体であるが、分布ではない。
• 非線形分割の曲率が定義され、それがゼロであるための必要十分条件は、関連する第二種微分方程式が準同型であること、すなわち底多様体上での積分曲線が底多様体上の解に射影されることである。
• 磁気項を含むラグランジュ系において、誘導される非線形分割の曲率は、水平方向と垂直方向の力学の結合を支配する。曲率がゼロならば、系は分離される。
• ラグランジュ関数が2+-同次（例：フィンスラー計量のエネルギー）である場合、誘導される非線形分割は同次的であり、Liouvilleベクトル場は水平部分多様体に接する。
• 底多様体 N 上の縮約ラグランジュ関数が測地線のパラメトライゼーションに依存しないことが示され、再パラメトライゼーションに関して幾何的不変性が保たれている。
• 曲率がゼロの場合、M/G 上の縮約系の底積分曲線は、ラグランジュ関数 ¯L = 1/2gijvivj − V + Aivi のEuler-Lagrange方程式を満たすことが確認され、磁気力学における既知の結果と整合的である。