[論文レビュー] Nonlinear stochastic heat equation driven by spatially colored noise: moments and intermittency

Le Chen, Kunwoo Kim|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^d$ 上の空間的に色付きのノイズを伴う非線形確率的熱方程式を研究し、測度値初期データに対して、確率的場解の存在と一意性を確立する。第二モーメントの鋭い上界および下界を導出し、ダラングの条件と弱正性の仮定の下で、リャプノフ指数における相転移を特徴づけ、間欠的フロントの存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we study the stochastic heat equation in the spatial domain $\mathbb{R}^d$ subject to a Gaussian noise which is white in time and colored in space. The spatial correlation can be any symmetric, nonnegative and nonnegative-definite function that satisfies {\it Dalang's condition}. We establish the existence and uniqueness of a random field solution starting from measure-valued initial data. We find the upper and lower bounds for the second moment. As a first application of these moments bounds, we find the necessary and sufficient conditions for the solution to have phase transition for the second moment Lyapunov exponents. As another application, we prove a localization result for the intermittency fronts.

研究の動機と目的

• 空間的に色付きのノイズと測度値初期データを伴う非線形確率的熱方程式に対する確率的場解の存在と一意性を確立すること。
• ダラングの条件を満たす一般の相関構造の下で、解の第二モーメントに対する正確な上界および下界を導出すること。
• モーメント境界を用いて、第二モーメントのリャプノフ指数における相転移を特徴づけること。
• モーメント推定に基づく局在化解析を通じて、間欠的フロントの存在を証明すること。
• $\mathbb{R}$ からの先行結果を $\mathbb{R}^d$ に拡張し、デルタ関数などの特異な初期データを含むフレームワークを一般化すること。

提案手法

• 解の畳み込みに基づくモーメント公式を用い、核 $\mathcal{K}$ と初期測度 $\mu$ を含む二重積分として表現する。
• 弱正性（比較）の原理を適用して、$\mu \geq 0$ のとき解の非負性を保証し、モーメント推定を可能にする。
• 線形ノイズと非負の初期測度の下で解の存在に必要な十分条件として、ダラングの条件 $\Upsilon(\beta) < \infty$ for $\beta > 0$ を用いる。
• 確率的畳み込みの階層を用いてモーメント境界を導出し、畳み込み演算子 $\rhd$ の結合則を用いて高次モーメントの表現を簡略化する。
• スペクトル解析とフーリエ変換技術を用いて、相関関数 $f$ 及びそのスペクトル測度 $\hat{f}$ を分析し、特に低次元における性質を調べる。
• 第二モーメントの漸近的解析を用いてリャプノフ指数を定義し、長時間極限における挙動を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間相関関数 $f$ および初期測度 $\mu$ に対して、確率的熱方程式の解が存在し、確率的場として保たれるための条件は何か？
• RQ2 ノイズが空間的に色付きで、初期データが測度であるとき、解の第二モーメントに対する正確な上界および下界は何か？
• RQ3 第二モーメントのリャプノフ指数が相転移を示すのはいつか？そのために必要な十分な条件は何か？
• RQ4 色付きノイズを伴う非線形確率的熱方程式の文脈で、間欠的フロントの概念をどのように厳密に定義し、その存在を証明できるか？
• RQ5 モーメント推定および解の存在に関するフレームワークを、$\mathbb{R}$ から一般の測度値初期データを含む $\mathbb{R}^d$ にどの程度拡張できるか？

主な発見

• ダラングの条件が満たされ、弱正性の原理が成り立つ限り、すべての初期測度 $\mathcal{M}_H(\mathbb{R}^d)$ に対して、確率的熱方程式の解は確率的場として一意に存在する。
• 線形ノイズ（$\rho(u) = \lambda u$）の場合、第二モーメントは核 $\mathcal{K}$ を含む明示的な公式をもち、その漸近的挙動がリャプノフ指数を決定する。
• 第二モーメントのリャプノフ指数は、強度 $\lambda^2$ が臨界閾値を越えると相転移を示す。臨界値は空間的相関構造に依存する。
• 次元 $d=1$ において、第二モーメントのリャプノフ指数の下界は、$\lambda \to \infty$ のとき $\liminf_{t\to\infty} \frac{1}{t}\log H_\nu^*(t;\lambda^2) \to \frac{\lambda^2}{e}$ を満たす。
• 次元 $d=2$ において、第二モーメントのリャプノフ指数の下界は、$\lambda \to \infty$ のとき $\liminf_{t\to\infty} \frac{1}{t}\log H_\nu^*(t;\lambda^2) \to \frac{\lambda^2}{e}$ を満たす。
• 本稿では、モーメントの成長率に基づく局在化解析を通じて、解が時間とともに空間に集中することを示し、その結果として間欠的フロントの存在を証明する。