[論文レビュー] Nonlinear stochastic time-fractional diffusion equations on $\mathbb{R}$: moments, Hölder regularity and intermittency

Le Chen|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ℝ上における非線形確率的時間分数マクロ拡散方程式に対して、すべてのβ ∈ (0,2) において、測度値初期データ（特にデルタ関数を含む）を伴う確率場解の存在、一意性、およびモーメントの上限を確立する。核関数𝒦(t,x)を用いた鋭い2次モーメント推定を導出し、遅い拡散（β ∈ (0,1)）における Hölder 連続性を証明し、2パラメータの Mainardi 関数を基本解として用いることで、遅い拡散および速い拡散の両 regime における弱い間欠性を示す。

ABSTRACT

We study the nonlinear stochastic time-fractional diffusion equations in the spatial domain $\mathbb{R}$, driven by multiplicative space-time white noise. The fractional index $β$ varies continuously from $0$ to $2$. The case $β=1$ (resp. $β=2$) corresponds to the stochastic heat (resp. wave) equation. The cases $β\in \:]0,1[\:$ and $β\in \:]1,2[\:$ are called {\it slow diffusion equations} and {\it fast diffusion equations}, respectively. Existence and uniqueness of random field solutions with measure-valued initial data, such as the Dirac delta measure, are established. Upper bounds on all $p$-th moments $(p\ge 2)$ are obtained, which are expressed using a kernel function $\mathcal{K}(t,x)$. The second moment is sharp. We obtain the Hölder continuity of the solution for the slow diffusion equations when the initial data is a bounded function. We prove the weak intermittency for both slow and fast diffusion equations. In this study, we introduce a special function, the {\it two-parameter Mainardi functions}, which are generalizations of the one-parameter Mainardi functions.

研究の動機と目的

• 測度値初期データ（特にデルタ関数を含む）を伴う、ℝ 上の非線形確率的時間分数マクロ拡散方程式の確率場解の存在および一意性を確立すること。
• 解のすべてのp次モーメント（p ≥ 2）に対する上界を導出し、特に2次モーメントが鋭いものであることを示すこと。
• 初期データが有界である場合の遅い拡散領域（β ∈ (0,1)）における解の正則性（特に Hölder 連続性）を調査すること。
• 遅い拡散（β ∈ (0,1)）および速い拡散（β ∈ (1,2)）の両方の領域において、弱い間欠性の現象を証明すること。
• 1パラメータ関数の一般化としての2パラメータ Mainardi 関数を導入し、基本解の構造を記述するためにそれらを用いること。

提案手法

• 収束が核関数𝒦(t,x) のモーメント推定によって保証される、L^p(Ω) フレームワークにおけるピカール反復スキームに依拠する解析。
• 核関数𝒦(t,x) は、線形化方程式の基本解 G_β(t,x) を用いて構築され、定理3.4によりそれが有限かつ有界であることが示される。
• 遅い拡散の場合（β ∈ (0,1)）、G_β(t,x) の推定と熱核の半群性質を用いて、解が Hölder 連続であることを示す。
• 速い拡散の場合（β ∈ (1,2)）、初期位置および初期速度のデータの必要性を考慮し、熱核との比較によって有界性が得られる修正されたグリーン関数 G_β*(t,x) を用いる。
• 2パラメータの Mainardi 関数を導入し、1パラメータの場合の一般化として、時間分数微分作用素の基本解を記述する。
• モーメント上限の証明には、確率的畳み込み推定を用い、コンパクト性を保証するため、標準的な熱核推定を、命題6.3および6.4、および補題6.7による分数マクロ核推定に置き換える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度値初期データを伴う非線形確率的時間分数マクロ拡散方程式の確率場解が存在し、一意に定まるための条件は何か？
• RQ2 解のp次モーメントはどのように振る舞い、特に2次モーメントにおいて鋭い上限を導出できるか？
• RQ3 遅い拡散領域（β ∈ (0,1)）における解の空間的および時間的正則性（特に Hölder 連続性）は何か？
• RQ4 解は弱い間欠性を示すか？ そして、遅い拡散と速い拡散の両領域において、その挙動はどのように異なるか？
• RQ5 2パラメータの Mainardi 関数は1パラメータの場合をどのように一般化し、基本解の解析をどのように容易にするか？

主な発見

• すべてのβ ∈ (0,2) に対して、初期データがデルタ関数測度を含む場合、確率場解の存在および一意性が確立される。
• すべてのp次モーメント（p ≥ 2）に対する上界が導出され、核関数𝒦(t,x) を用いて表現される。特に2次モーメントは鋭いものである。
• 遅い拡散（β ∈ (0,1)）において、初期データが有界である場合、核関数推定と半群性質を用いて、解が空間的および時間的 Hölder 連続であることが示される。
• 解は遅い拡散および速い拡散の両領域において弱い間欠性を示す。これは、解のモーメントが時間とともに指数関数的に増大し、特徴的な空間的構造を示すことを意味する。
• 2パラメータの Mainardi 関数が導入され、1パラメータの場合の一般化として、時間分数微分作用素の基本解を記述するために用いられ、正確なモーメント推定を可能にする。
• 核関数𝒦(t,x) がコンパクト集合上で有限かつ一様有界であることが示され、これによりピカール反復の収束および解の L^p(Ω) 連続性が保証される。