[論文レビュー] Nonlinear transformation of complex amplitudes via quantum singular value transformation

Naixu Guo, Kosuke Mitarai+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、量子特異値変換（QSVT）を用いた非線形変換のための量子アルゴリズムを提案し、量子状態の確率的非線形操作を可能にする。状態準備オракルからアモイチュードのブロック符号化を構築することで、精度に対して指数的高速化が達成され、入力次元に対してはおおよそ平方根依存性を示し、量子コンピュータ上でのニューラルネットワーク実装への道筋を提供する。

ABSTRACT

Due to the linearity of quantum operations, it is not straightforward to implement nonlinear transformations on a quantum computer, making some practical tasks like a neural network hard to be achieved. In this work, we define a task called nonlinear transformation of complex amplitudes and provide an algorithm to achieve this task. Specifically, we construct a block-encoding of complex amplitudes from a state preparation unitary. This allows us to transform the complex amplitudes by using quantum singular value transformation. We evaluate the required overhead in terms of input dimension and precision, which reveals that the algorithm depends on the roughly square root of input dimension and achieves an exponential speedup on precision compared with previous work. We also discuss its possible applications to quantum machine learning, where complex amplitudes encoding classical or quantum data are processed by the proposed method. This paper provides a promising way to introduce highly complex nonlinearity of the quantum states, which is essentially missing in quantum mechanics.

研究の動機と目的

• 量子力学の線形性により、量子コンピュータ上で非線形操作を実装するという根本的課題に対処すること。
• 非線形アモイチュード変換（NTCA）というタスクを定義・解明し、状態アモイチュードの実部および虚部に直接非線形関数を適用することを目的とする。
• QSVTに使用可能なヒルベルト行列にアモイチュードの実部または虚部を符号化するブロック符号化技術を開発すること。
• 非線形活性化関数を量子状態アモイチュードに適用することで、直接的に量子ニューラルネットワークを実装できることを示すこと。
• 入力次元および精度の観点からリソースオーバーヘッドを定量化し、実用的量子機械学習応用において有利なスケーリングを示すこと。

提案手法

• 状態準備オーケストラからユニタリ演算子を構築し、複素アモイチュードの実部または虚部をヒルベルト行列に符号化することで、アモイチュードのブロック符号化を導入する。
• 量子特異値変換（QSVT）を活用し、符号化された行列の特異値に非線形関数 P および Q を適用する。これらの特異値はアモイチュードの実部および虚部に対応する。
• 制御された状態準備オーケストラおよびその随伴を用い、その使用回数は期待値として $\mathcal{O}\left(d\sqrt{N/\sum_{k=1}^{N}|P'(x_k)+Q'(y_k)|^2}\right)$ に比例する。ここで d は多項式近似の次数である。
• 非線形関数の多項式近似において、テイラー展開とベルヌーイ数の上限を用いて誤差境界を保証し、$\varepsilon$-精度を達成するための $\mathcal{O}(\log(1/\varepsilon))$ 次数を達成する。
• 隠れ層状態に対して NTCA 手続きを再帰的に適用することで、多層量子ニューラルネットワークに一般化し、係数の正規化に一様特異値増幅を用いる。
• 出力アモイチュードを抽出するためにアモイチュード推定を適用し、加法誤差 $\beta$ を与える。$\ell$ 層ネットワークでは総リソースコストが $\tilde{\mathcal{O}}\left(d^{\ell}N_{\ell}\sqrt{N_1N_2\cdots N_{\ell}}/\beta\right)$ となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子操作の線形性にもかかわらず、量子状態の複素アモイチュードに直接非線形変換を適用することは可能か？
• RQ2 状態準備オーケストラから、アモイチュード成分（実部および虚部）のブロック符号化をどのように構築すれば、QSVTに基づく非線形処理を可能にするか？
• RQ3 入力次元 N および所望の精度 $\varepsilon$ の観点から、NTCA の実装に必要なリソースコストは何か？
• RQ4 提案手法を用いて、量子状態の非線形活性化関数を実装できるか？
• RQ5 このアプローチを用いた多層量子ニューラルネットワークに必要なリソースのスケーリングは何か？

主な発見

• 従来手法と比較して、精度に関する指数的高速化を達成し、$\varepsilon$-精度を達成するための多項式近似の必要次数が $\mathcal{O}(\log(1/\varepsilon))$ に比例する。
• 制御された状態準備オーケストラの使用回数は $\mathcal{O}\left(d\sqrt{N/\sum_{k=1}^{N}|P'(x_k)+Q'(y_k)|^2}\right)$ に比例し、入力次元 N に対しておおよそ平方根依存性を示す。
• 2層量子ニューラルネットワークでは、入力状態準備オーケストラ $U_\psi$ を $\tilde{\mathcal{O}}\left(d^2\sqrt{N_1}\right)$ 回使用する必要があり、より高い層では乗法的にスケーリングする。
• 非線形活性化関数（例：tanh）を低次の多項式で近似することで、量子状態アモイチュードへの直接的な実装が可能になる。
• $\ell$ 層量子ニューラルネットワークでは、総リソースコストが $\tilde{\mathcal{O}}\left(d^{\ell}\sqrt{N_1N_2\cdots N_{\ell-1}}\right)$ のオーケストラ使用回数に比例し、アモイチュード推定により出力状態の読み出しに $\tilde{\mathcal{O}}(N_\ell^{3/2}/\beta)$ 要素が加算される。
• 量子力学的性質が本質的に線形である状態に対し、制御された非線形変換を導入することで、量子機械学習のための有望なフレームワークを提供する。