[論文レビュー] Nonlinear Valuation under Collateral, Credit Risk and Funding Costs: A Numerical Case Study Extending Black-Scholes

Damiano Brigo, Qing Daphne Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2014

Credit Risk and Financial Regulations参考文献 9被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、担保措置、相手方信用リスク、調達コストを考慮した非線形かつアービッジフリーなデリバティブ価格設定フレームワークを提案する。CVA、DVA、FVA、LVAの調整を現金フローの修正に直接組み込むことで実現する。一般化されたブラック・ショールズモデルに最小二乗モンテカルロ法を適用し、資金調達リスクと非線形性（非線形性価値調整、NVAとして定量化）が取引価格に顕著な影響を及ぼすことを示した。NVAは総価格の10–15％を占め、従来の加法的調整モデルに疑問を呈する。

ABSTRACT

We develop an arbitrage-free framework for consistent valuation of derivative trades with collateralization, counterparty credit gap risk, and funding costs, following the approach first proposed by Pallavicini and co-authors in 2011. Based on the risk-neutral pricing principle, we derive a general pricing equation where Credit, Debit, Liquidity and Funding Valuation Adjustments (CVA, DVA, LVA and FVA) are introduced by simply modifying the payout cash-flows of the deal. Funding costs and specific close-out procedures at default break the bilateral nature of the deal price and render the valuation problem a non-linear and recursive one. CVA and FVA are in general not really additive adjustments, and the risk for double counting is concrete. We introduce a new adjustment, called a Non-linearity Valuation Adjustment (NVA), to address double-counting. The theoretical risk free rate disappears from our final equations. The framework can be tailored also to CCP trading under initial and variation margins, as explained in detail in Brigo and Pallavicini (2014). In particular, we allow for asymmetric collateral and funding rates, replacement close-out and re-hypothecation. The valuation equation takes the form of a backward stochastic differential equation or semi-linear partial differential equation, and can be cast as a set of iterative equations that can be solved by least-squares Monte Carlo. We propose such a simulation algorithm in a case study involving a generalization of the benchmark model of Black and Scholes for option pricing. Our numerical results confirm that funding risk has a non-trivial impact on the deal price, and that double counting matters too. We conclude the article with an analysis of large scale implications of non-linearity of the pricing equations.

研究の動機と目的

• OTCデリバティブにおける担保措置、相手方信用リスク、調達コストを一貫して考慮するアービッジフリーな価格設定フレームワークの構築を目的とする。
• 従来の加法的調整モデルを無効にする、資金調達および信用リスク調整の非加法的かつ再帰的性質に対処することを目的とする。
• CVAおよびFVA計算における二重カウントリスクを特定・是正するための非線形性価値調整（NVA）を導入することを目的とする。
• 最終式に理論的リスクフリー金利を用いないようにするため、OIS、信用スプレッド、調達金利といった観察可能な市場金利に基づくモデルの構築を目的とする。
• ブラック・ショールズモデルを拡張した数値的ケーススタディを通じて、非線形性の実務的影響を示すこと。

提案手法

• リスク中立的評価に基づく一般化された価格設定方程式を導出。CVA、DVA、LVA、FVAは、取引の支払いキャッシュフローを修正することによって統合する。
• 資金調達およびデフォルトリスクへの再帰的・非線形的依存関係を反映するため、価格設定問題を後向き確率的微分方程式（BSDE）または半線形PDEとしてモデル化する。
• 貸出・貸入金利の対称化やリスクフリーのクロージャーを代替クロージャーに置き換えることによる価格評価誤差を測定するための非線形性価値調整（NVA）を導入する。
• 繰り返しで時間の逆方向に解く方程式を数値的に解くために、最小二乗モンテカルロ（LSMC）アルゴリズムを適用し、シミュレーションベースの価格付けを可能にする。
• 非対称な担保および調達金利、デフォルト時の代替クロージャー、再抵当化を含むブラック・ショールズモデルの拡張を行い、ISDAおよびCSA市場慣行と整合させる。
• 理論的リスクフリー金利を避けるために、信用スプレッド、CSA金利、財務省調達金利といった観察可能な市場入力を用いてモデルをキャリブレーションする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CVA、DVA、FVA、LVAを加法的または線形調整を仮定せずに、一貫してデリバティブ価格設定に組み込む方法は何か？
• RQ2 資金調達コストおよび非対称な調達金利が、非線形価格設定フレームワークにおいて取引最終価格に与える影響は何か？
• RQ3 価格設定方程式の非線形構造が、ポートフォリオ集約を無効にし、集約依存性を引き起こす程度はどの程度か？
• RQ4 簡略化された加法的調整を用いる際に、二重カウントが引き起こす価格評価誤差はどの程度大きく、その定量的評価は可能か？
• RQ5 非線形性価値調整（NVA）は、資金調達およびクロージャー手順の対称化によって生じる誤差を効果的に測定・是正できるか？

主な発見

• 非線形性価値調整（NVA）は、資金調達を含む取引価格の10–15％を占め、非線形性の影響が顕著で、無視できないことを示している。
• 資金調達リスクは取引価格に顕著な影響を及ぼし、貸出金利と貸入金利の非対称性に依存してその大きさが変化する。
• 価格設定方程式は本質的に非線形的かつ再帰的であり、取引価格が資金調達戦略に依存するため、双方向対称性が崩れる。
• 資金調達コストおよび代替クロージャーの存在により、ポートフォリオ価値の集約は加法的ではなくなるため、価格評価がポートフォリオ構成に依存する。
• 本フレームワークは、観察可能な市場金利（OIS、信用スプレッド、財務省調達金利）のみを用いるため、観察不能なリスクフリー金利に依存しない。
• LSMCアルゴリズムは、繰り返しで時間の逆方向に解く方程式を効果的に解き、一般化されたブラック・ショールズ設定下でのモデルの数値的妥当性を検証可能にした。