[論文レビュー] Nonlinear waves in a strongly nonlinear resonant granular chain

Lifeng Liu, Guillaume James+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2015

Nonlinear Photonic Systems参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、内部調和共振子を有するヘーツィアン接触ビーズで構成される強非線形共鳴性グレインドチェーンにおける非線形波を調査する。漸近解析を用いて、小振幅周期的進行波およびダークブリーファー（非ゼロ背景上に指数的局在化した時間周期的状態）をモデル化する一般化された離散pシュレーディンガー（DpS）方程式を導出する。質量比が大きい場合に長寿命なブライトブリーファーが存在することを示し、質量比と周波数に応じて分岐および安定性特性が異なる安定なダークブリーファーを数値的に計算する。

ABSTRACT

We explore a recently proposed locally resonant granular system bearing harmonic internal resonators in a chain of beads interacting via Hertzian elastic contacts. In this system, we propose the existence of two types of configurations: (a) small-amplitude periodic traveling waves and (b) dark-breather solutions, i.e., exponentially localized, time periodic states mounted on top of a non-vanishing background. We also identify conditions under which the system admits long-lived bright breather solutions. Our results are obtained by means of an asymptotic reduction to a suitably modified version of the so-called discrete p-Schr{ö}dinger (DpS) equation, which is established as controllably approximating the solutions of the original system for large but finite times (under suitable assumptions on the solution amplitude and the resonator mass). The findings are also corroborated by detailed numerical computations. A remarkable feature distinguishing our results from other settings where dark breathers are observed is the complete absence of precompression in the system, i.e., the absence of a linear spectral band.

研究の動機と目的

• Hertzian接触および内部共振子を有する局所的共鳴性グレインドチェーンにおける非線形波解の存在と安定性を調査すること。
• 標準的な非共鳴限界を超えて有限の質量比に拡張された離散pシュレーディンガー（DpS）方程式フレームワークを拡張すること。
• 前処理なしの非零背景上に指数的局在化した時間周期的状態であるダークブリーファー解を数値的に計算・解析すること。
• さまざまな質量比と周波数において、ボンド中心およびサイト中心のダークブリーファー解の分岐および安定性特性を検討すること。
• 系において長寿命な非自明なブライトブリーファー解が出現する条件を調査すること。

提案手法

• 解の振幅および共振子質量に関する仮定の下で、大時間かつ小振幅の範囲で有効な漸近還元を用いて一般化DpS調制方程式を導出する。
• 一般化DpS方程式を用いて、小振幅周期的進行波およびブリーファー解の動的挙動を近似・予測する。
• DpS方程式の解に基づいた初期条件を構築し、数値シミュレーションを用いて正確なダークブリーファー解を計算する。
• さまざまな周波数および質量比に対して、ニュートン型の固定点続行法を用いて正確なダークブリーファー解を数値的に計算する。
• Floquet乗数スペクトルを用いて安定性を解析し、ボンド中心およびサイト中心解における実数（伝搬性）および振動的不安定性を区別する。
• 数値結果をDpSフレームワークからの解析的予測と比較し、漸近近似の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化DpS方程式は、有限の質量比においても、共鳴性グレインドチェーンにおける小振幅周期的進行波解を正確に捉えることができるか？
• RQ2 系において長寿命な非自明なブライトブリーファー解が出現する条件は何か？
• RQ3 プレプレッシャーなしの単原子グレインドチェーンにおいて、非零背景上に指数的局在化した時間周期的状態であるダークブリーファー解は存在するか？
• RQ4 ダークブリーファーの安定性および分岐構造は、質量比とブリーファー周波数にどのように依存するか？
• RQ5 ペイエルス＝ナバロ障壁はダークブリーファーの可動性にどのような役割を果たし、ボンド中心解とサイト中心解の動的不安定性とどのように関係するか？

主な発見

• 一般化DpS方程式は、特に質量比が臨界閾値未満である場合に、有限の質量比における共鳴性グレインドチェーンの小振幅周期的進行波解をうまく近似する。
• 非自明なブライトブリーファー解は有限の質量比では存在しないが、質量比が十分に大きくかつ初期条件が適切に選ばれた場合には、長寿命な非自明なブライトブリーファーが出現する。
• DpSに基づく初期条件とニュートン型続行法を用いて、ボンド中心およびサイト中心の両タイプのダークブリーファー解を数値的に計算した。
• ボンド中心のダークブリーファーは実数不安定性を示し、長期的な伝搬が可能性であるのに対し、サイト中心のブリーファーは振動的不安定性のみを示し、シミュレーション内での持続時間が長くなる。
• 小質量比におけるボンド中心解では周期倍分岐が観察されたが、サイト中心解は長時間にわたり安定であったが、特定の条件下では完全に混沌としたダイナミクスによって破壊される可能性がある。
• Floquet乗数の分布（安定性を示す）は、質量比およびブリーファー周波数に強く依存しており、特に共振子の固有周波数近傍ではサイト中心解が弱い不安定性を示す。