[論文レビュー] Nonlinearity Computation for Sparse Boolean Functions

Çağdaş Çalık|arXiv (Cornell University)|May 3, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、代数的正規形（ANF）係数を用いて線形関数との距離を再定式化することで、非線形性の計算に新たなアルゴリズムを提案する。この手法により、高速ウォルシュ変換（Fast Walsh Transform）が非効率となる40変数を超えるスパースなブール関数に対しても非線形性を計算可能とし、暗号応用分野におけるスケーラブルな代替手法を提供する。

ABSTRACT

An algorithm for computing the nonlinearity of a Boolean function from its algebraic normal form (ANF) is proposed. By generalizing the expression of the weight of a Boolean function in terms of its ANF coefficients, a formulation of the distances to linear functions is obtained. The special structure of these distances can be exploited to reduce the task of nonlinearity computation to solving an associated binary integer programming problem. The proposed algorithm can be used in cases where applying the Fast Walsh transform is infeasible, typically when the number of input variables exceeds 40.

研究の動機と目的

• 40変数を超えるブール関数の非線形性計算が計算的に非現実的であるという問題に対処すること。
• 高次元の変数数において非現実的になる高速ウォルシュ変換を回避する手法を開発すること。
• ANF係数の構造的性質を活用して、非線形性計算をバイナリ整数プログラミング問題に再定式化すること。
• 特にスパース関数に適した、暗号設計における非線形性評価のスケーラブルな解決策を提供すること。

提案手法

• ブール関数から各線形関数までのハミング距離を、そのANF係数を用いて表現する。
• この定式化により、距離式に特徴的な構造が明らかとなり、最適化手法の適用が可能になる。
• 問題は、最近隣接する線形関数までの距離を最小化するバイナリ整数プログラミング問題に還元される。
• 整数計画法における変数数と制約数を、ANFにおけるスパarsityに依存して制限する。
• ANFに含まれる関連する単項式にのみ注目することで、全列挙を回避する。
• 整数計画法の解が最小距離を示し、これが直接的に関数の非線形性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高速ウォルシュ変換が非効率となる40変数を超えるブール関数に対し、非線形性を効率的に計算できるか？
• RQ2 代数的正規形（ANF）係数をどのように用いることで、線形関数との距離を記述し、利用可能な構造を明らかにできるか？
• RQ3 非線形性計算をバイナリ整数プログラミング問題に再定式化することは可能か？
• RQ4 ANF係数のどのような構造的性質が、スパース関数における計算複雑度の低減を可能にするか？
• RQ5 提案手法は、高次元のスパースなブール関数に対して、既存手法に比べてスケーラビリティに優れているか？

主な発見

• 非線形性計算問題がANF係数を用いて成功裏に再定式化され、新たな計算アプローチが可能になった。
• この手法により、非線形性計算がバイナリ整数プログラミング問題に還元され、40変数を超える関数に対しても解けるようになった。
• ANFにおける単項式の数が限られるスパースなブール関数に対して、本手法は特に効果的である。
• 高速ウォルシュ変換のO(n·2^n)の計算量を回避するため、高次元のケースに対しても実用的である。
• ヒューリスティック法や近似法とは異なり、非線形性の正確な計算が可能である。
• 本手法は、大規模かつスパースな関数の非線形性評価を要する暗号応用分野において、実用的であることが示された。