[論文レビュー] Nonlinearity, correlation and the valuation of employee stock options

Matheus R. Grasselli|ArXiv.org|Nov 9, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、不完全市場における従業員株式報酬（ESO）の価格付けに、指数的無差別価格付けを用いた離散時間アルゴリズムを提案する。この手法は、非線形なリスク選好（部分的行使を引き起こす）と、相関する取引可能資産によるヘッジを同時に考慮する。主な貢献は、非線形性と相関性がブラック・ショールズモデルを上回るオプション価格および企業コストを引き上げることであり、企業コストは従業員の価値とブラック・ショールズ価格の間にあることである。

ABSTRACT

We propose a discrete time algorithm for the valuation of employee stock options based on exponential indifference prices and taking into account both the possibility of partial exercise of a fraction of the options and the use of a correlated traded asset to hedge part of their risk. We determine the optimal exercise policy under this conditions and present numerical results showing how both effects can significantly change the value of the option for an employee, as well as its cost for the issuing firm.

研究の動機と目的

• ベーシック・オプション価格付けモデル（例：ブラック・ショールズ）が、ベーシング、失効、非流動性といった契約的特徴のため、従業員株式報酬の価格付けに限界を示す点を是正する。
• リスクを完全にヘッジできない不完全市場におけるデリバティブとして従業員オプションをモデル化し、リスク中立的評価ではなく、ユーティリティに基づく価格付けを必要とする。
• 非線形リスク選好と取引可能資産との相関性が最適行使戦略およびオプション価格に与える影響を調査する。
• 部分的行使とヘッジの影響を、従業員のユーティリティと企業コストの両面で定量的に評価し、従来モデルの系統的過小評価を是正する。

提案手法

• リスク回避性を反映するため、指数的ユーティリティに基づくインディフェレンス価格付けを用いて、従業員オプションの公正価格を決定する。
• 保有株式数とリスク選好に基づく部分的行使を許容する最適行使戦略を計算するため、離散時間の動的計画法アルゴリズムを開発する。
• 株式指数など、相関する取引可能資産を導入し、市場リスクの一部をヘッジする。ヘッジ戦略は動的ポートフォリオとしてモデル化する。
• リスク中立的株価ダイナミクスのモンテカルロシミュレーションを用い、従業員の最適行使戦略を入力として企業の期待コストを計算する。
• 行使期間終了時点でのオプション価格をヨーロピアン・スタイルのデリバティブとして扱い、権利行使日から逆算して後退帰属を可能にする二項木フレームワークを適用する。
• 独立したポアソン過程を用いて従業員の離職リスクをモデル化し、各時点での生存確率を調整してオプション価格を修正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リスク選好が非線形で、部分的行使が許容される場合、従業員株式報酬の最適行使戦略はどのように変化するか？
• RQ2 相関する取引可能資産の存在が、従業員株式報酬の価格と企業コストにどの程度の影響を及ぼすか？
• RQ3 ボラティリティと満期が変化する際、ブラック・ショールズ価格と従業員自身のユーティリティベース価格と比較して、価格付け結果はどのように異なるか？
• RQ4 指数的無差別価格付けに基づく離散時間アルゴリズムは、不完全市場における非線形性と相関性の影響を正確に捉えることができるか？

主な発見

• 企業が負担する実効的コストは、従業員のユーティリティベース価格とブラック・ショールズ価格の間にある。これは、標準モデルが企業コストを過小評価していることを示している。
• 企業コストは満期までの期間、ボラティリティ、ヘッジ資産との相関性が高くなるほど上昇し、従業員のリスク回避度（γ）が高くなると低下する。
• T=5、γ=0.5の場合、ボラティリティが上昇するにつれて企業コストも上昇し、理論的期待と実証的証拠と一致する。
• 部分的行使と非線形性を無視すると、従業員に対するオプション価格が系統的に過小評価され、結果として企業コストも過小評価される。
• 相関するヘッジ資産の導入は、オプション価格を顕著に向上させ、ヘッジの機会が未ヘッジリスクを低減し、価格を上昇させることを示している。
• 本モデルの結果は、実証的知見（例：Huddart and Lang, 1996）と定性的に一致しており、特に満期が長く、ボラティリティが高い場合、従業員オプションはブラック・ショールズ価格より低く評価される傾向がある。