[論文レビュー] Nonlocal Fully Nonlinear Parabolic Differential Equations Arising in Time-Inconsistent Problems

Lei Qian, Chi Seng Pun|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2021

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時間非一貫性のある確率的制御問題に現れる非局所的完全非線形放物型PDEの適切な定式化——解の存在、一意性、安定性——を、特化したバナッハ空間と不動点論的議論を用いて確立する。さらに、これらのPDEを2階の前向き・後向きストキャスティック微分方程式（2FBSDE）の流れに関連づけ、このような系に対して新しいフェインマン＝カック型表現を提供する。

ABSTRACT

We prove the well-posedness results, i.e. existence, uniqueness, and stability, of the solutions to a class of nonlocal fully nonlinear parabolic partial differential equations (PDEs), where there is an external time parameter $t$ on top of the temporal and spatial variables $(s,y)$ and thus the problem could be considered as a flow of equations. The nonlocality comes from the dependence on the unknown function and its first- and second-order derivatives evaluated at not only the local point $(t,s,y)$ but also at the diagonal line of the time domain $(s,s,y)$. Such equations arise from time-inconsistent problems in game theory or behavioural economics, where the observations and preferences are (reference-)time-dependent. To address the open problem of the well-posedness of the corresponding nonlocal PDEs (or the time-inconsistent problems), we first study the linearized version of the nonlocal PDEs with an innovative construction of appropriate norms and Banach spaces and contraction mappings over which. With fixed-point arguments, we obtain the well-posedness of nonlocal linear PDEs and establish a Schauder-type prior estimate for the solutions. Then, by the linearization method, we analogously establish the well-posedness under the fully nonlinear case. Moreover, we reveal that the solution of a nonlocal fully nonlinear parabolic PDE is an adapted solution to a flow of second-order forward-backward stochastic differential equations.

研究の動機と目的

• 時間非一貫性のある確率的制御問題に由来する非局所的完全非線形放物型PDEの適切な定式化という未解決問題を解消すること。
• 新規の関数空間と不動点技法を用いて、解の存在、一意性、安定性を確立すること。
• 非局所的PDEを2階の前向き・後向きストキャスティック微分方程式（2FBSDE）の流れに関連づけること。
• 対角項の依存関係と時間パrameter化されたダイナミクスを統合することで、既存のフェインマン＝カック公式を一般化すること。
• 参照依存的好みの下での行動経済学および確率的制御の理論的基盤を拡張すること。

提案手法

• PDEにおける非局所性と時間パrameter依存性を扱うために、特化したバナッハ空間とノルムを構築する。
• これらの空間において収縮写像原理を適用し、線形化されたPDEバージョンの適切な定式化を証明する。
• 非同次項と初期データに関する解の挙動を制御するためのシュードラー型の事前推定を導出する。
• 線形化と不動点反復を用いて、完全非線形系への結果の拡張を実現する。
• 伊藤の公式をPDE解に適用することで確率的表現を確立し、2FBSDEの流れに関連づける。
• 非局所的PDEの解が導出された2FBSDEの流れの適応的解であることを示し、古典的フェインマン＝カック公式を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般条件下で、対角項依存性を有する非局所的完全非線形放物型PDEの適切な定式化は確立可能か？
• RQ2 非局所構造と時間パrameter依存性を扱うために、適切な関数空間とノルムをどのように構築できるか？
• RQ3 このような非局所的PDEと2階の前向き・後向きストキャスティック微分方程式（2FBSDE）の流れとの間にはどのような関係があるか？
• RQ4 解の対角項およびその微分の項を含む系に対して、一般化されたフェインマン＝カック公式を導出可能か？
• RQ5 非局所的PDEの解は、時間非一貫性のある確率的制御問題における部分ゲーム完全均衡とどのように関係するか？

主な発見

• 適切に構築されたバナッハ空間において、線形化とバナッハの不動点定理を用いることで、非局所的完全非線形放物型PDEの適切な定式化が確立された。
• シュードラー型の事前推定が導出され、解が初期条件および非同次項に依存する様子が定量的に評価された。
• 非局所的PDEの解が2階の前向き・後向きストキャスティック微分方程式（2FBSDE）の流れの適応的解であることが示された。
• 2FBSDE系（53）は、解およびその微分の対角項を非線形的に組み込むことで、古典的2FBSDEを一般化している。
• PDEとFBSDEの関係性により、2FBSDEの流れに対する新しいフェインマン＝カック型表現が得られ、古典的結果が拡張された。
• 本研究の結果は、拡散係数への制御の組み込みを可能にし、均衡HJB方程式を解くことによって、時間非一貫性のある確率的制御理論を著しく前進させた。