[論文レビュー] Nonlocal Hamiltonian operators of hydrodynamic type with flat metrics, integrable hierarchies and the equations of associativity

O. I. Mokhov|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2004

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、平坦な計量を備えた非局所ハミルトニアン作用素の非局所型について、完全な分類を確立し、それが2次元トポロジカル量子場理論における可換性方程式とFrobenius多様体に本質的に関連していることを証明している。非局所作用素が可積分な階層、互換性を持つハミルトニアン作用素のペンシル、および対合する積分系を生成することを示しており、その解は擬エュクリッド空間内の平坦な部分多様体を用いた可換性方程式の幾何的実現によって得られる。

ABSTRACT

We solve the problem of describing all nonlocal Hamiltonian operators of hydrodynamic type with flat metrics. This problem is also equivalent to the description of all flat submanifolds with flat normal bundle in a pseudo-Euclidean space. It is proved that every such Hamiltonian operator (or the submanifold corresponding to the operator) gives a pencil of compatible Poisson brackets, generates bi-Hamiltonian integrable hierarchies of hydrodynamic type, and also defines a family of integrals in involution. We prove that a natural special class of such Hamiltonian operators (submanifolds) is described exactly by the equations of associativity of two-dimensional topological quantum field theory (the Witten--Dijkgraaf--Verlinde--Verlinde and Dubrovin equations). It is shown that locally any N-dimensional Frobenius manifold can be presented by a certain special flat N-dimensional submanifold with flat normal bundle in a 2N-dimensional pseudo-Euclidean space. This submanifold is defined uniquely up to motions.

研究の動機と目的

• 平坦な計量を備えた非局所ハミルトニアン作用素の非局所型をすべて分類すること。
• このような作用素と2次元トポロジカル量子場理論における可換性方程式との関係を確立すること。
• これらの作用素が可積分な構造的流れおよび互換性を持つハミルトニアン作用素のペンシルを生成することを証明すること。
• これらの作用素のアフィノルが特別な対合する積分を与えること、および可換性方程式がそのような積分の主要クラスを記述することを示すこと。
• 任意のN次元Frobenius多様体が、2N次元の擬エュクリッド空間内に平坦なN次元部分多様体と平坦な正規バンドルを持つものに局所的に対応することを示すこと。

提案手法

• 本稿は、対称な反変計量とアフィノルおよび逆微分を含む非局所項を持つ非局所ハミルトニアン作用素の一般形を用いる。
• ハミルトニアン性の条件を適用する：計量のLevi-Civita接続、アフィノルの対称性および整合性条件、リーマンテンソルを含む曲率関係式。
• 非退化な定数行列を用いて作用素を標準形に変換する方法を採用し、ハミルトニアン構造を保存する。
• Frobenius多様体の幾何的実現は、ペテルソン＝ボンネットの定理を用いて、平坦な正規バンドルを持つ平坦な部分多様体を擬エュクリッド空間に埋め込むことで達成される。
• 可換性方程式が埋め込まれた部分多様体のガウス方程式およびリッチ方程式に等価であることを示す。
• 潜在関数Φ(u)を用いて第二基本形式を定義し、アフィノルおよび構造的流れを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦な計量を備えた非局所ハミルトニアン作用素の非局所型の完全な分類は何か？
• RQ2 このような作用素は2次元トポロジカル量子場理論における可換性方程式とどのように関係しているか？
• RQ3 このような作用素は常に可積分な階層および互換性を持つハミルトニアン作用素のペンシルを生成するか？
• RQ4 これらの作用素のアフィノルは対合する積分を与えることができ、可換性方程式はこの文脈で果たす役割は何か？
• RQ5 Frobenius多様体は、擬エュクリッド空間内に平坦な部分多様体と平坦な正規バンドルを持つものとして幾何的に実現可能か？

主な発見

• 平坦な計量を備えた非局所ハミルトニアン作用素の非局所型は、すべて完全に分類され、可換性方程式の解と一対一に対応することが示された。
• このような作用素は常に非局所型の可積分な構造的流れを生成し、ダブルビン階層の主部と一致する。
• これらの作用素のアフィノルは特別なクラスの対合する積分を生成し、可換性方程式はそのような積分の根本的クラスを記述する。
• 任意のN次元Frobenius多様体は、剛体運動を除き、2N次元の擬エュクリッド空間内に一意に平坦なN次元部分多様体と平坦な正規バンドルを持つものに局所的に対応する。
• 可換性方程式は、埋め込まれた部分多様体のガウス方程式およびリッチ方程式と幾何的に等価であり、作用素の幾何学的性質におけるその本質的役割を裏付けた。
• N=3で反対角計量を用いた具体的な例では、関数f(u²,u³)に対するダブルビンの可積分方程式と等価な系が得られ、明示的な多項式解が提示された。