[論文レビュー] Nonlocality in microscale heat conduction

Bjorn Vermeersch, Ali Shakouri|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Thermal properties of materials被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、球面的・拡散的スケールの間の準球面的熱伝導における空間的・時間的記憶を捉える非局所的熱伝導率カーネル κ∗ を導入する。緩和時間近似におけるボルツマン輸送方程式を用いて、温度付き Lévy 乱流に対する κ∗ を解析的に導出し、物理的に有意な非局所性が √(2−α) xR の距離スケールで現れることを明らかにした。実験的に測定された非局所性長は、Si で約 400 nm、InGaAs/SiGe で約 1 μm であり、中間的フォノン平均自由行程と一致する。

ABSTRACT

Thermal transport at short length and time scales inherently constitutes a nonlocal relation between heat flux and temperature gradient, but this is rarely addressed explicitly. Here, we present a formalism that enables detailed characterisation of the delocalisation effects in nondiffusive heat flow regimes. A convolution kernel $κ^{\ast}$, which we term the nonlocal thermal conductivity, fully embodies the spatiotemporal memory of the heat flux with respect to the temperature gradient. Under the relaxation time approximation, the Boltzmann transport equation formally obeys the postulated constitutive law and yields a generic expression for $κ^{\ast}$ in terms of the microscopic phonon properties. Subsequent synergy with stochastic frameworks captures the essential transport physics in compact models with easy to understand parameters. A fully analytical solution for $κ^{\ast}(x')$ in tempered Lévy transport with fractal dimension $α$ and diffusive recovery length $x_{ ext{R}}$ reveals that nonlocality is physically important over distances $\sqrt{2-α} \,\,x_{ ext{R}}$. This is not only relevant to quasiballistic heat conduction in semiconductor alloys but also applies to similar dynamics observed in other disciplines including hydrology and chemistry. We also discuss how the previously introduced effective thermal conductivity $κ_{ ext{eff}}$ inferred phenomenologically by transient thermal grating and time domain thermoreflectance measurements relates to $κ^{\ast}$. Whereas effective conductivities depend on the experimental conditions, the nonlocal thermal conductivity forms an intrinsic material property. Experimental results indicate nonlocality lengths of 400$\,$nm in Si membranes and $\simeq 1\,μ$m in InGaAs and SiGe, in good agreement with typical median phonon mean free paths.

研究の動機と目的

• 拡散的挙動を仮定せずに、準球面的領域における空間的・時間的記憶を捉える非局所的形式主義を構築すること。
• 緩和時間近似におけるボルツマン輸送方程式から導かれる κ∗ を、物質の固有の性質として確立すること。
• κ∗ を有効熱伝導率 κeff に結びつけることで、時間領域熱グレーティング（TTG）および時間領域熱反射率法（TDTR）からの実験データと直接比較可能にする。
• 熱電効果を超えて、水文学や化学などに応用可能な、非局所的熱輸送に適した簡潔で解析的に取り扱いやすいモデルを提供すること。
• 物性論的に推定された κeff と基本的な非局所的応答との乖離を解消し、それらの間の定量的関係を導出すること。

提案手法

• 熱フラックス q(x,t) が温度勾配 ∂T/∂x と記憶カーネル κ∗(x−x′,t−t′) の畳み込みに依存する非局所的構成則を定式化する。
• 緩和時間近似におけるボルツマン輸送方程式から、微視的フォノン特性と関連づけて κ∗ を解析的に導出する。
• 確率的フレームワークを適用して、解釈可能なパラメータを持つ簡潔なモデルに非局所的カーネルを簡略化する。
• フラクタル次元 α と回復長 xR を持つ温度付き Lévy 乱流の場合、κ∗(x′) を解析的に解く。
• 周波数領域における積分方程式を用いて、TDTR および TTG 実験から推定された実効熱伝導率 κeff と内在的カーネル κ∗ を関連付ける。
• κ∗ が複雑な場合に κeff を数値的に解くために、ガウス求積を用いた二分法アルゴリズムを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微小スケール熱伝導における熱フラックスの非局所的性質は、空間的・時間的記憶カーネルを用いてどのように形式的に記述できるか？
• RQ2 フラクタル次元 α を持つ温度付き Lévy 乱流に対する非局所的熱伝導率カーネル κ∗ の解析的形は何か？
• RQ3 TDTR および TTG 実験において、実験的に測定された有効熱伝導率 κeff と内在的非局所カーネル κ∗ との関係は何か？
• RQ4 半導体合金において、サブミクロンスケールで非局所効果が拡散的挙動をどれほど上回るか？
• RQ5 非局所的形式主義を用いることで、拡散的輸送に関する現象論的仮定に依存せずに実験データを解釈できるか？

主な発見

• 非局所的熱伝導率カーネル κ∗ は、温度勾配に対する熱フラックスの空間的・時間的記憶を完全に捉え、物質の固有の性質を形成する。
• 温度付き Lévy 乱流では、非局所性が √(2−α) xR の距離スケールで物理的に有意である。ここで xR は拡散的回復長である。
• Si メンブレンで約 400 nm、InGaAs および SiGe で約 1 μm の実験的非局所性長は、中間的フォノン平均自由行程と良好に一致する。
• TDTR および TTG 実験から推定された有効熱伝導率 κeff は、周波数領域における κ∗(ξ) の広範なサンプリングに起因し、高周波数成分が抑制されている。
• 純粋な Lévy 乱流の場合、κ∗ と κeff を結ぶ積分方程式は κeff ∼ fmod^(−(2/α−1)) を与え、InGaAs および SiGe における実験的スケーリングと一致する。
• この形式主義により、κ∗ に対して解析的解が得られ、κeff に対して数値的解が得られ、非拡散的輸送領域にわたる簡潔な熱的モデリングのための堅牢なフレームワークが提供される。