[論文レビュー] Nonnegative Polynomials and Circuit Polynomials

Jie Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Low-power high-performance VLSI design被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、1つの負の項を含む非負多項式が常に非負回路（SONC）多項式の和であることを確立し、SONC錐とSAGE錐が同一であることを証明する。さらに、すべてのSONC多項式がキャンセルフリーな分解を有することを示し、スパarsityを保ちながら、二次錐計画法または相対エントロピー計画法による効率的なスパース多項式最適化を可能にする。

ABSTRACT

The concept of sums of nonnegative circuit polynomials (SONC) was recently introduced as a new certificate of nonnegativity especially for sparse polynomials. In this paper, we explore the relationship between nonnegative polynomials and SONC polynomials. As a first result, we provide sufficient conditions for nonnegative polynomials with general Newton polytopes to be SONC polynomials, which generalizes the previous result on nonnegative polynomials with simplex Newton polytopes. Secondly, we prove that every SONC polynomial admits a SONC decomposition without cancellation. In other words, SONC decompositions can exactly preserve the sparsity of nonnegative polynomials, which is dramatically different from the classical sum of squares (SOS) decompositions and is a key property to design efficient algorithms for sparse polynomial optimization based on SONC decompositions.

研究の動機と目的

• 一般のニュートン多面体をもつ非負多項式がSONC分解をもつ十分条件を特定すること。
• SONC分解がキャンセルを伴わずに非負多項式のスパarsityを保てるかどうかを調査すること。
• 非負性証明の文脈において、SONC錐とSAGE錐の関係を明確にすること。
• スパarsityを保つSONC分解を活用して、スケーラブルなスパース多項式最適化を可能にすること。
• 単体のニュートン多面体に関する先行結果を一般の多面体および複数の負の項へと拡張すること。

提案手法

• 支持の組合せ的・幾何的条件を用いて、単体のニュートン多面体に関する先行結果を任意のニュートン多面体へ一般化する。
• 1つの負の項をもつ非負多項式が常にSONC多項式であることを証明し、SONC錐とSAGE錐が同一であることを示す。
• すべてのSONC多項式がキャンセルフリーなSONC分解をもつことを確立し、分解におけるスパarsityが保たれることを保証する。
• SONC多項式が支持を拡大すると二項式の平方の和に変換されることを応用し、二次錐計画法の定式化を可能にする。
• Carathéodoryの定理を適用して、SONC分解に必要な回路項の数が元の多項式の項数によって上限づけられることを示す。
• 相対エントロピー計画法および二次錐計画法を活用し、スパース多項式最適化を非制約条件下で効率的に解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のニュートン多面体をもつ非負多項式が、どのような条件下でSONC分解をもつと保証されるか？
• RQ2 すべてのSONC多項式がキャンセルを伴わず分解可能であり、元の多項式のスパarsityが保たれるか？
• RQ3 すべての非負多項式について、SONC錐はSAGE錐と等しいか？
• RQ4 スパース多項式の非制約最適化において、SONC分解をどのように効率的に計算できるか？
• RQ5 SONC分解のスパarsityを保つ性質を、制約付き多項式最適化問題へどの程度一般化できるか？

主な発見

• 正確に1つの負の項をもつ非負多項式は、常にSONC多項式であり、SONC錐とSAGE錐が同一であることを示唆する。
• すべてのSONC多項式はキャンセルフリーなSONC分解をもち、分解が元の多項式のスパarsityを正確に反映する。
• 多項式のサポートに含まれる回路のみを用いてSONC分解を構築可能であり、すべての可能な回路を列挙する必要がない。
• Carathéodoryの定理により、SONC分解に必要な回路の数は、元の多項式の項数によって上限づけられる。
• SONC分解のスパarsityを保つ性質により、スパース多項式最適化において二次錐計画法または相対エントロピー計画法による効率的計算が可能になる。
• 単体のニュートン多面体に関する先行研究を一般のニュートン多面体へ拡張し、SONCに基づく最適化のより広範な理論的基盤を提供する。