[論文レビュー] Nonnegative Ricci curvature, small linear diameter growth and finite generation of fundamental groups

Christina Sormani|ArXiv.org|Sep 23, 1998

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非負のリッチ曲率と小さい線形直径成長をもつ完全な非コンパクトなリーマン多様体が、有限生成な基本群を持つことを証明している。アブレシュとグロモルの過剰定理を用いて、このような多様体は、基本群が有限生成であるか、あるいは基本群が無限生成である場合には、無限遠点における非極性の接錐を示す。線形体積成長が有限生成を意味することは、その系として得られる。

ABSTRACT

In 1968, Milnor conjectured that a complete noncompact manifold with nonnegative Ricci curvature has a finitely generated fundamental group. The author applies the Excess Theorem of Abresch and Gromoll (1990), to prove two theorems. The first states that if such a manifold has small linear diameter growth then its fundamental group is finitely generated. The second states that if such a manifold has an infinitely generated fundamental group then it has a tangent cone at infinity which is not polar. A corollary of either theorem is the fact that if such a manifold has linear volume growth, then its fundamental group is finitely generated.

研究の動機と目的

• 1968年にミルナーが提起した、非負のリッチ曲率をもつ完全な非コンパクト多様体の基本群の有限生成性に関する予想に取り組むこと。
• このような多様体のトポロジーに及ぼす小さい線形直径成長の幾何的意味を調査すること。
• 無限遠点における接錐の構造と基本群の有限生成性との間の関係を確立すること。
• 非負のリッチ曲率のもとで、線形体積成長が有限基本群生成性を意味することを証明すること。

提案手法

• アブレシュとグロモルの過剰定理を応用し、測地線および直径成長の幾何的制御を行う。
• 無限遠点における接錐を用いた多様体の漸近的構造の分析。
• 距離幾何的手法を用いて、直径成長と基本群の代数的構造との関係を明らかにする。
• 無限遠点における接錐の極性と非極性の性質を検討し、基本群のトポロジカル制約を導く。
• 体積成長率と直径成長率を比較して、トポロジカルな有限性条件を導出する。
• 問題を非負のリッチ曲率のもとでのレースおよび漸近的コーンの挙動に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負のリッチ曲率と小さい線形直径成長をもつ完全な非コンパクトなリーマン多様体は、有限生成な基本群を持つのか？
• RQ2 無限遠点におけるどのような幾何的条件が、基本群を無限生成に強いるのか？
• RQ3 無限遠点における接錐の構造は、基本群が有限生成か無限生成かを特定できるか？
• RQ4 非負のリッチ曲率のもとで、線形体積成長は有限生成性を意味するのか？
• RQ5 無限遠点における接錐が極性である条件は何か？ そしてそれは多様体のトポロジーとどのように関係するか？

主な発見

• 非負のリッチ曲率をもつ完全な非コンパクト多様体が小さい線形直径成長をもつならば、その基本群は有限生成である。
• 基本群が無限生成である場合、無限遠点における接錐は極性でない。
• このような多様体において、線形体積成長は基本群の有限生成性を意味する。
• アブレシュとグロモルの過剰定理は、幾何的成長条件とトポロジカルな有限性との間の関係を結ぶ上で中心的な役割を果たす。
• 無限遠点における非極性接錐の存在は、基本群が無限生成であるための必要条件である。
• これらの結果は、追加の幾何的制約のもとでミルナーの予想に対する部分的な確認を提供する。