[論文レビュー] Nonnegative Tensor Factorization, Completely Positive Tensors and an Hierarchical Elimination Algorithm

Liqun Qi, Changqing Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2013

Tensor decomposition and applications参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、完全正定値行列の高次元への拡張として完全正定値（CP）テンソルを導入し、スペクトル的性質、優位性条件、および同様の次数の非正定値テンソルとの双対性を確立する。非負で強く対称的かつ階層的優位性を持つテンソルがCPテンソルであることを検証するための階層的除去アルゴリズムを提案し、非負テンソル因子分解への応用における確認可能な十分条件を提供する。

ABSTRACT

Nonnegative tensor factorization has applications in statistics, computer vision, exploratory multiway data analysis and blind source separation. A symmetric nonnegative tensor, which has a symmetric nonnegative factorization, is called a completely positive (CP) tensor. The H-eigenvalues of a CP tensor are always nonnegative. When the order is even, the Z-eigenvalue of a CP tensor are all nonnegative. When the order is odd, a Z-eigenvector associated with a positive (negative) Z-eigenvalue of a CP tensor is always nonnegative (nonpositive). The entries of a CP tensor obey some dominance properties. The CP tensor cone and the copositive tensor cone of the same order are dual to each other. We introduce strongly symmetric tensors and show that a symmetric tensor has a symmetric binary decomposition if and only if it is strongly symmetric. Then we show that a strongly symmetric, hierarchically dominated nonnegative tensor is a CP tensor, and present a hierarchical elimination algorithm for checking this. Numerical examples are also given.

研究の動機と目的

• 完全正定値行列の理論を高次元テンソルへ拡張するために、完全正定値（CP）テンソルを定義し、分析すること。
• CPテンソルのスペクトル的性質（特にH固有値およびZ固有値）を調査し、符号および非負性制約を確立すること。
• CPテンソルの成分が満たすべき必要条件となる優位性特性を同定すること。
• 同じ次数のCPテンソルの錐と非正定値テンソルの錐との双対性を確立すること。
• 強く対称なテンソルと階層的除去アルゴリズムを導入し、非負テンソルがCPテンソルであるための十分条件を提示すること。

提案手法

• CPテンソルを、非負のランク1分解 A = Σ (u^(k))^m を持つ実数のm次n次元テンソルとして定義する（u^(k) ∈ ℝ₊ⁿ）。
• テンソルのH固有値およびZ固有値を導入し、CPテンソルのH固有値が常に非負であることを証明する。
• 偶数次CPテンソルではすべてのZ固有値が非負であることを証明する。奇数次では、正の（負の）Z固有値に対応するZ固有ベクトルは非負（非正）である。
• 優位性特性を確立する：CPテンソルの成分は、インデックス集合および値に基づいた特定の不等式を満たす必要があり、これは必要条件を形成する。
• 強く対称なテンソルを、対称的な2進分解を許容するテンソルとして定義し、新しい特徴付けにより同値性を示す。
• CPテンソルの性質を検証するための階層的除去アルゴリズムを提案し、そのアルゴリズムが強対称かつ階層的優位性を持つテンソルがCPテンソルであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CPテンソルは、特にH固有値およびZ固有値の符号に関して、どのようなスペクトル的性質を有するか？
• RQ2 CPテンソルの成分が満たすべき優位性条件は何か？ そして、それらは必要条件として確認可能か？
• RQ3 同じ次数のCPテンソルの錐と非正定値テンソルの錐との間に双対関係があるか？
• RQ4 非負テンソルがCPテンソルであるための十分条件を定式化し、アルゴリズムで検証可能か？
• RQ5 階層的除去アルゴリズムは、強く対称的かつ階層的優位性を持つ非負テンソルを正しくCPテンソルとして同定できるか？

主な発見

• 任意のCPテンソルのH固有値は、テンソルの次数に関係なく常に非負である。
• 偶数次CPテンソルでは、すべてのZ固有値が非負である。奇数次では、正の（負の）Z固有値に対応するZ固有ベクトルは非負（非正）である。
• CPテンソルの成分は特定の優位性特性を満たしており、これはテンソルがCPであるための必要条件を形成する。
• 同じ次数のCPテンソルの錐と非正定値テンソルの錐は互いに双対である。
• 強く対称的かつ階層的優位性を持つ非負テンソルは、CPテンソルであることが保証される。
• 階層的除去アルゴリズムは、強対称性および階層的優位性の両方を検証でき、結果としてCPテンソルとしての性質を確認できる。