[論文レビュー] Nonoscillation and Stability of the Second Order Ordinary Differential Equations with a Damping Term

Leonid Berezansky, Elena Braverman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2008

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、連続性を仮定しない可測係数を用いた2階線形常微分方程式の非振動性および指数的安定性に関する新しい基準を確立する。グリーン関数とフラウエレ理論を用いて非振動区間を分析することで、減衰係数の積分的性質に基づく指数的安定性の条件を導出し、古典的結果を最小限の正則性仮定でより広い方程式のクラスに拡張する。

ABSTRACT

In this paper we consider the linear ordinary equation of the second order $$ L x(t)\equiv \ddot{x}(t) +a(t)\dot{x}(t)+b(t)x(t)=f(t), \eqno{(1)} $$ and the corresponding homogeneous equation $$ \ddot{x}(t) +a(t)\dot{x}(t)+b(t)x(t)=0. \eqno{(2)} $$ Note that $[α,β]$ is called a nonoscillation interval if every nontrivial solution has at most one zero on this interval. Many investigations which seem to have no connection such as differential inequalities, the Polia-Mammana decomposition (i.e. representation of the operator $L$ in the form of products of the first order differential operators), unique solvability of the interpolation problems, kernels oscillation, separation of zeros, zones of Lyapunov's stability and some others have a certain common basis - nonoscillation. Presumably Sturm was the first to consider the two problems which naturally appear here: to develop corollaries of nonoscillation and to find methods to check nonoscillation. In this paper we obtain several tests for nonoscillation on the semiaxis and apply them to propose new results on asymptotic properties and the exponential stability of the second order equation (2). Using the Floquet representations and upper and lower estimates of nonoscillation intervals of oscillatory solutions we deduce results on the exponential and Lyapunov's stability and instability of equation (2).

研究の動機と目的

• 連続性仮定を越えて可測係数を用いた2階線形ODEの非振動性基準を開発すること。
• 減衰係数の積分的性質を用いて、同次方程式の指数的安定性に関する新条件を確立すること。
• フラウエレ理論とグリーン関数の正値性を介して、非振動理論と安定性解析を結びつけること。
• 非振動解をモデル方程式として用いることで、安定性に関するボール＝ペロンの定理を一般化すること。
• 解の零点間の距離の推定値を用いて、非振動区間の明示的評価を与えること。

提案手法

• 解の表現と境界値問題の解析に、コーシー関数とグリーン関数を用いる。
• 微分不等式の定理を適用してグリーン関数の正値性を導出し、非振動性を示す。
• 周期的係数の場合に、モノドロミー行列とスペクトル半径を解析するためのフラウエレ理論を用いる。
• 解の連続する零点間の距離の上界および下界を導出し、周期的挙動を除外する。
• 変換 $ z''(t) + p(t)z(t) = 0 $ と $ p(t) = b(t) - a^2(t)/4 - a'(t)/2 $ を用いて、減衰項を含む方程式を標準形に還元する。
• グリーン関数によって定義される積分作用素のスペクトル半径の推定値を用いて、安定性の性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階ODEの解が可測係数を用いた半直線上で非振動的であるための条件は何か？
• RQ2 係数の連続性を仮定しない場合、同次方程式の指数的安定性はどのように特定できるか？
• RQ3 減衰係数の積分 $ \int_0^\omega a(t)dt $ は安定性を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 解の零点間の距離の推定値は、システムの安定性または不安定性とどのように関係するか？
• RQ5 グリーン関数の正値性とスペクトル半径解析を用いて、非振動区間を特徴づけられるか？

主な発見

• 方程式 (7.1) は $ \int_0^\omega a(t)dt > 0 $ であれば、モノドロミー作用素のスペクトル半径が1未満であることから、指数的安定である。
• もし $ \int_0^\omega a(t)dt < 0 $ であれば、基本解は指数的に増大し、$ |\lambda_1| > 1 $ であることから不安定である。
• $ \int_0^\omega a(t)dt = 0 $ のとき、基本解は有界のままであり、$ |\lambda_1| = 1 $ に対応する。
• 定理12は、振動性の明示的十分条件を提供する： $ P = \mathrm{ess\,inf}\,p(t) > 0 $、$ Q = \mathrm{ess\,sup}\,p(t) $、および $ \omega \in \left(0, \frac{\pi}{2\sqrt{Q}}\right] \cup \cdots \cup \left(\frac{k-1}{2}\frac{\pi}{\sqrt{P}}, \frac{k\pi}{2\sqrt{Q}}\right) $ で、$ \frac{k-1}{k} < \sqrt{P/Q} $ を満たすならば、方程式は振動的であり、零点間の距離は $ 2\omega $ と異なる。
• 7.1節の例は、$ \int_0^\pi a(t)dt > 0 $ であっても、解の構造が有界でない成分（例：$ x_1 = e^{-t}\cos t $）を許す場合、指数的安定性が成立しないことがあることを示しており、周期的零点パターンの排除が不可欠であることを強調している。