[論文レビュー] Nonparametric estimation for fractional diffusion processes with random effects

Mohamed El Omari, Hamid El Maroufy+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$N$ 人の被験者に対する時間枠 $T$ の観測に基づき、長-range依存性を示す分数確率微分方程式（FSDEs）における確率的効果の密度に関する非パラメトリックカーネルおよびヒストグラム推定器を提案する。$H > 1/2$ の下で、$N$ と $T$ が両方とも無限大に近づく際のカーネル推定器の $L^2$-リスクとヒストグラム推定器の $L^1$-リスクを確立し、FSDEs における確率的効果のための非パラメトリック推論フレームワークを初めて提供する。

ABSTRACT

We propose a nonparametric estimation for a class of fractional stochastic differential equations (FSDE) with random effects. We precisely consider general linear fractional stochastic differential equations with drift depending on random effects and non-random diffusion. We build ordinary kernel estimators and histogram estimators and study their Lp-risk (p =1 or 2), when H>1/2. Asymptotic results are evaluated as both T = T(N) and N tend to infinity.

研究の動機と目的

• 長-range依存性を示す分数確率微分方程式（FSDEs）における確率的効果の非パラメトリック推論手法の不足に応えること。
• $i.i.d.$ の確率的効果 $\phi_i$ の共通密度 $f$ の一貫性のある密度推定器を、$N$ 個のFSDEのサンプルパスから得られた観測に基づき開発すること。
• 両方のサンプルサイズ $N$ と時間枠 $T$ が同時に無限大に近づくという共同漸近的枠組みの下で、カーネルおよびヒストグラム推定器の漸近的 $L^p$-リスク（$p=1,2$）を分析すること。
• 確率的効果を伴うSDEsに対する既存のパラメトリック推論を、分数 Browm運動に駆動される非パラメトリック設定へと拡張すること。
• 未知のドリフト $a(\cdot)$ と既知の $b(\cdot), \sigma(\cdot)$ を持つモデルにおける密度推定の理論的保証を提供すること。

提案手法

• $N$ 個のFSDEのサンプルパスから得られる推定効果 $\widetilde{\phi}_{i,T}$ の経験的分布に基づき、確率的効果 $\phi_i$ の密度 $f$ に対する通常のカーネル推定器を提案する。
• $a(\cdot)$ が既知または未知であるという仮定の下で、$H \in (1/2,1)$ の下でカーネル推定器の $L^2$-リスクの上限を導出する。
• $f$ がコンパクトな台を持つと仮定して、$f$ のためのヒストグラム推定器を構築する。これにより技術的解析が簡素化され、実用的意義も反映される。
• $T = T(N)$ の下で、ヒストグラム推定器の $L^1$-リスクを共同漸近的枠組みで分析する。
• 長-range依存性の存在下での推定誤差を制御するために、分数 Browm運動の確率的微積分と集中不等式を用いる。
• 正則性条件 $b(t), \sigma(t)$, および $a(\cdot)$ の下で、バイアスとバイアスの両方の成分を制限することにより、両推定器の一致性と収束速度を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $H > 1/2$ のFSDEsにおける確率的効果の非パラメトリック密度推定器は、$N$ と $T$ が共に増大する際、一貫性を持って構築可能か？
• RQ2 両方の $N$ と $T$ が増大する際、確率的効果の密度 $f$ のカーネル推定器の $L^2$-リスクの性質は何か？
• RQ3 同じ漸近的枠組み下で、コンパクトな台を持つ密度に対してヒストグラム推定器は $L^1$-リスクにおいてどのように性能を発揮するか？
• RQ4 未知のドリフト $a(\cdot)$ は、確率的効果の密度推定リスクにどのように影響を与えるか？
• RQ5 $H < 1/2$ へのこの手法の拡張における理論的限界は何か？

主な発見

• 正則性条件 $b(t), \sigma(t)$, および $a(\cdot)$ の下で、カーネル推定器の $L^2$-リスクは $N$ と $T$ が無限大に近づくにつれてゼロに収束する。
• カーネル推定器の収束速度は、密度 $f$ の滑らかさ、ハースト指数 $H$、およびバンド幅 $h$ の選択に依存する。
• 密度 $f$ がコンパクトな台を持つと仮定することで、ヒストグラム推定器の $L^1$-リスクは制御可能となり、技術的解析が簡素化される。
• 未知のドリフト $a(\cdot)$ が存在する場合でも、$N,T \to \infty$ の共同漸近的枠組み下で、提案された推定器は一貫性を示す。
• $H < 1/2$ の場合、推定された確率的効果 $\widetilde{\phi}_{i,T}$ の一貫性に必要な主要なモーメント条件が成立しないため、この手法は破綻する。
• 数値シミュレーションにより、さまざまな $H$ 値および確率的効果分布（正規分布およびガンマ分布）の下で、カーネルおよびヒストグラム推定器が真の密度に理論的に収束することが確認された。