[論文レビュー] Nonparametric estimation in a semimartingale regression model. Part 2. Robust asymptotic efficiency

Victor Konev, Serguei Pergamenchtchikov|ArXiv.org|Sep 17, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、半マルティングレル・ノイズを伴う連続時間回帰モデルにおける周期的関数の非パラメトリック推定のためのモデル選択手順の漸近的効率性を確立する。ノイズ分布のクラスにわたる二乗リスクの上界としてのロバストリスクを導入することにより、著者らは鋭い漸近的バウンドを導出し、ピンスラー定数が達成されることを証明し、モデル不適合下でも手順の最適性を確認する。

ABSTRACT

In this paper we prove the asymptotic efficiency of the model selection procedure proposed by the authors in the first part. To this end we introduce the robust risk as the least upper bound of the quadratical risk over a broad class of observation distributions. Asymptotic upper and lower bounds for the robust risk have been derived. The asymptotic efficiency of the procedure is proved. The Pinsker constant is found.

研究の動機と目的

• 周期的信号を伴う半マルティングレル回帰モデルにおける非パラメトリック推定のためのモデル選択手順の漸近的効率性を確立すること。
• ノイズ分布の不確実性を反映するロバストリスクの定義と分析を行い、モデル不適合下でも性能保証を可能にする。
• ロバストリスクの鋭い漸近的上界および下界を導出し、最適収束速度の特定に繋げる。
• 提案されたモデル選択手順がピンスラー定数に達することを証明し、広範なノイズ分布クラスにおいてその漸近的効率性を確認すること。

提案手法

• ノイズ分布族がモーメントおよび可積分性条件を満たすものとして、その族にわたる二乗リスクの上界としてのロバストリスクを導入する。
• 半マルティングレルノイズのストキャスティック積分表現を用い、条件 (1.4) により平均ゼロおよび一様なバネル限界 σ* を仮定する。
• 部分積分およびブニアコフスキー＝シュバルツの不等式を用いて、ロバストリスク枠組み下での二乗リスクの下界を導出する。
• スコア関数 Ψj = ∂/∂θj ln(f(y,z)Φ(z)) を導出し、推定量のバイアスと分散をフィッシャー情報量と関連付ける。
• ロバストリスクの下界が信号成分 Sj の L2 ノルムおよびノイズ分散 σ* に依存することを確立し、ピンスラー型のバウンドを導出する。
• 半マルティングレルノイズの構造と観測値の条件付き分布を用いてフィッシャー情報量を導出し、その下界における役割を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 [10] で提案されたモデル選択手順は、モデル不適合下でも漸近的効率性を達成できるか？
• RQ2 半マルティングレルノイズを伴う非パラメトリック推定におけるロバストリスクの鋭い下界は何か？
• RQ3 このモデルにおけるロバストリスク枠組みでピンスラー定数が最適速度として出現するか？
• RQ4 広範なノイズ分布クラスにわたる二乗リスクの上界として定義されるロバストリスクは、漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ5 この半マルティングレル設定下で、フィッシャー情報量とロバストリスクの下界の関係は何か？

主な発見

• ロバストリスクは鋭い漸近的上界および下界を有し、モデル選択手順の最適性を確認する。
• ピンスラー定数が導出され、それがロバストリスクの正確な下界であることが示され、手順の漸近的効率性が裏付けられる。
• 二乗リスクの下界は B²j / E[Ψ²j] として表現され、ここで Bj はバイアス項、E[Ψ²j] はフィッシャー情報量である。これにより鋭いオラクル不等式が得られる。
• 漸近的下界は信号成分 Sj の L² ノルムおよびノイズ分散 σ* に依存し、与えられたモーメント条件のもとでタイトなバウンドが得られる。
• スコア関数 Ψj は部分積分により導出され、E[Ψj] = 0 および E[Ψ²j] = (1/σ*)∫₀ⁿ S²j(t) dt + Ij を満たすことが示され、ここで Ij は高階項を表す。
• モデル選択手順が未知の信号の滑らかさに適応するとき、ロバストリスクは最小化され、極限においてピンスラー定数に達する。