[論文レビュー] Nonparametric estimation in random coefficients binary choice models

Erwan Gautier, Yukichi Kitamura|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2009

Statistical Methods and Inference参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、球面上のフーリエ＝ラプラス級数を用いて、二値選択モデルにおける確率的係数の密度の非パラメトリック推定量を提案する。この手法により、閉形式で、最適化を要しない推定が可能となる。この方法は構成的同定可能性結果を提供し、単純なプラグイン手順により漸近正規性を達成する。従来の数値最適化を必要とする手法に比べ、計算的に効率的で柔軟な代替手法を提供する。

ABSTRACT

Nous considérons dans cet article des modèles à choix binaires et coefficients aléatoires. Le but est d'estimer de manière nonparamétrique la densité du coefficient aléatoire. Il s'agit d'un problème inverse mal posé caractérisé par une transformation intégrale. Un nouvel estimateur de la densité du coefficient aléatoire est proposé. Il est basé sur les développements en séries de Fourier-Laplace sur la sphère. Cette approche permet une étude fine du problème d'identification mais aussi d'obtenir un estimateur par injection ayant une expression explicite et ne nécessitant aucun optimisation numérique. Le nouvel estimateur est donc très facile à obtenir numériquement, tout en étant souple sur le traitement de l'hétérogénéité inobservée. Nous présentons des extensions parmi lesquellesle traitement de coefficients non aléatoires et de modèles avec endogénéité.

研究の動機と目的

• 数値最適化を要しない、二値選択モデルにおける確率的係数密度の非パラメトリック推定量の開発。
• 球面調和関数解析を用いて、確率的係数密度の同定問題を構成的に解明すること。
• 計算的に単純で、プラグイン推定量としての安定性を確保し、未観測の異質性に強く、実務的応用に容易に実装可能な推定量の提供。
• 非確率的係数および内生性を扱えるようにフレームワークを拡張し、適用範囲を広げること。
• 正則性条件の下で推定量の漸近正規性を確立し、統計的推論を可能にする。

提案手法

• 単位球面 $\mathbb{S}^{d-1}$ 上のフーリエ＝ラプラス級数を用いて、確率的係数の密度を表現し、球面調和関数を用いたスペクトル分解を実行する。
• 係数密度の回復という逆問題を、選択確率関数の積分変換を用いた球面上のデコンボリューション型問題に変換する。
• 観測された選択確率の球面調和変換を逆転させることで、数値積分や最適化を回避する閉形式推定量を導出する。
• バイアスと分散を制御するため、切り捨てパラメータ $T_N$ を用い、共変数密度の低密度領域を処理するためのトリミング手順を導入する。
• リャプノフの条件と補間不等式を用いて、核ノルムの境界とモーメント条件に依拠して、漸近正規性を確立する。
• 係数ベクトルを単位ノルムに正規化することで、定義域を球面に制限し、理論的裏付けとして方向データ解析の技術を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二値選択モデルにおいて、数値最適化を要さずに確率的係数密度の非パラメトリック推定量を構築することは可能か？
• RQ2 球面調和展開を用いて、確率的係数二値選択モデルの同定問題をどのように構成的に解けるか？
• RQ3 提案された非パラメトリック推定量の漸近分布は何か？また、有効な統計的推論が可能か？
• RQ4 共変数密度がゼロから離れている条件の下で、この推定量は弱い正則性条件のもとでどのように振る舞うか？
• RQ5 この手法は、非確率的係数および共変数の内生性に対しても拡張可能か？

主な発見

• 提案された推定量は球面調和関数を用いて閉形式で表現可能であり、数値最適化や反復的手順を一切不要とする。
• 推定量は漸近正規性を示し、分散が $N^{-1/2}$ のスケールに比例するため、標準誤差の計算や仮説検定が可能となる。
• 選択確率関数の球面調和変換を介して、係数密度が同定可能であることを示す構成的同定可能性結果を提供する。
• 推定量の分散は $C T_N^{2d-1}$ から下限され、バイアスは切り捨てパラメータ $T_N$ とバンド幅の選択によって制御される。
• 共変数密度の有界性および核のモーメント条件といった正則性条件のもとで、推定量は一貫性と漸近正規性を保つ。
• 適切に $T_N$ とバンド幅を選びさえすれば、バイアスおよび推定誤差項は $o_p(1)$ に収束し、漸近正規性が保証される。