[論文レビュー] Nonparametric estimation of a regression function using the gamma kernel method in ergodic processes

Alessandro Pasquale De Rosa, Maria-Ines Nogueira|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般のエルゴディックな依存構造のもとで、ガンマカーネルに基づく非パラメトリック回帰推定量の強一様一致性および漸近正規性を確立している。これは、従来のi.i.d.結果を依存データへと拡張したものであり、非負のサポートと境界バイアスに対処するため、適応的バンド幅を用いたガンマカーネルを採用することで、弱マキシング条件のもとで最適な収束速度と漸近分散を達成している。

ABSTRACT

In this paper we consider the nonparametric estimation of density and regression functions with non-negative support using a gamma kernel procedure introduced by Chen (2000). Strong uniform consistency and asymptotic normality of the corresponding estimators are established under a general ergodic assumption on the data generation process. Our results generalize those of Shi and Song (2016), obtained in the classic i.i.d. framework, and the works of Bouezmarni and Rombouts (2008, 2010b) and Gospodinov and Hirukawa (2007) for mixing time series.

研究の動機と目的

• i.i.d. から一般のエルゴディック過程へガンマカーネル回帰推定を拡張し、境界付近での対称カーネルの限界を克服すること。
• 弱依存仮定のもとで、ガンマカーネル回帰推定量の強一様一致性および漸近正規性を確立すること。
• i.i.d. およびマキシング時間系列枠組みにおける既存結果を、より広いエルゴディック過程のクラスへ一般化すること。
• 適切なバンド幅条件のもとで、i.i.d.設定と同等の最適な収束速度および漸近分散を保証すること。

提案手法

• 非負のサポートを扱うために、形状母数 $\alpha(n,x) = \frac{x}{h_n} + 1$ およびスケール母数 $\beta(n) = h_n$ を用いたガンマカーネル密度推定を採用する。
• 条件付き期待値 $R(x) = E[\Phi(Y_1) \mid X_1 = x]$ の推定量として、比推定量 $R_n(x) = \frac{\sum_{t=1}^n \Phi(Y_t) K_{\alpha(n,x),\beta(n)}(X_t)}{\sum_{t=1}^n K_{\alpha(n,x),\beta(n)}(X_t)}$ を提案する。
• マキシング過程を超えて非マキシングエルゴディック列を含む、より広いクラスへ一般化するため、エルゴディシティを主な依存仮定として採用する。
• バイアスおよび分散項を制御するため、マルティングル型分解および一様マキシングレ型近似を適用する。
• 尾部の挙動を制御するため、モーメント不等式およびホルダーの不等式を用いる。
• 条件 (H5)–(H8)、特にモーメントおよびバンド幅制約を満たすもとで、補題 4.1–4.8 を用いてバイアス、分散、一様偏差項をバインドする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のエルゴディック依存構造のもとで、ガンマカーネル回帰推定量は強一様一致性を満たすか？
• RQ2 同じバンド幅選択のもとで、i.i.d.設定と同等の収束速度を達成するか、ガンマカーネル推定量の漸近正規性はエルゴディック過程でも成立するか？
• RQ3 バンド幅条件が依存データにおける収束速度および漸近分散に与える影響は何か？
• RQ4 弱依存のもとで、非負のサポート回帰における境界バイアスをガンマカーネル法が効果的に低減できるか？
• RQ5 非i.i.i.d.エルゴディック過程におけるガンマカーネル推定量の一様確率的性質（バイアス、分散、収束）は何か？

主な発見

• エルゴディシティおよびモーメント条件のもとで、コンパクト集合上での $\mathbb{R}_0^+$ におけるガンマカーネル回帰推定量 $R_n(x)$ は強一様一致性を示す。
• 漸近正規性が成立する：$\sqrt{n h_n} (R_n(x) - R(x)) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2(x))$ であり、$\sigma^2(x)$ は同じバンド幅選択のもとで i.i.d. 時の漸近分散と一致する。
• 収束速度として、$n h_n \to \infty$ かつ $n \sqrt{h_n} \to \infty$ のもとで、バイアスおよび分散項の収束速度は i.i.d. 場合と同一である。
• バイアス項は $O(h_n)$、分散項は $O(1/(n h_n))$ であり、$h_n \sim n^{-1/5}$ のもとで最適な $MISE$ 速度 $O(n^{-2/5})$ を達成する。
• 証明は、モーメント不等式およびエルゴディシティに起因するマキシングレ型近似を用いた $L^2$ モーメントおよび尾確率の一様制御に依存する。
• 本結果は、i.i.i.d.（Shi and Song, 2013）およびマキシング（Bouezmarni and Rombouts, 2010）設定における先行研究を、より広いエルゴディック過程のクラスへ一般化している。