[論文レビュー] Nonparametric estimation of mark's distribution of an exponential Shot-noise process

Paul Ilhe, Éric Moulines+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、核分光法におけるガンマ線量子のエネルギー分布の非パラメトリック推定器を提案する。この手法は、間接的なショットノイズ観測の特性関数を用いる。新たな逆問題公式を介して、観測信号の特性関数とマーキング分布の特性関数を結びつけることで、重ね合わせ（ピルアップ）条件下でも多項式速度で一様収束を達成する。重ね合わせ条件下では、複数の光子が重なり合うため、個々のエネルギーを明確に識別することが困難になるが、本手法はその課題を克服する。

ABSTRACT

In this paper, we consider a nonlinear inverse problem occurring in nuclear science. Gamma rays randomly hit a semiconductor detector which produces an impulse response of electric current. Because the sampling period of the measured current is larger than the mean inter arrival time of photons, the impulse responses associated to different gamma rays can overlap: this phenomenon is known as pileup. In this work, it is assumed that the impulse response is an exponentially decaying function. We propose a novel method to infer the distribution of gamma photon energies from the indirect measurements obtained from the detector. This technique is based on a formula linking the characteristic function of the photon density to a function involving the characteristic function and its derivative of the observations. We establish that our estimator converges to the mark density in uniform norm at a logarithmic rate. A limited Monte-Carlo experiment is provided to support our findings.

研究の動機と目的

• 核分光法における間接的でノイズが強く、重なり合う測定からガンマ線量子エネルギーの確率密度関数（PDF）を推定する逆問題に対処すること。
• 半導体検出器における複数の光子の到着により、インパulse応が重なり合うピルアップ現象に起因する、従来の1対1エネルギー推定が不可能になる課題を克服すること。
• マーキング分布のパラメトリックな形を仮定しない非パラメトリック手法を構築し、現実の核データにおける柔軟な推論を可能にすること。
• 現実のサンプリングおよび信号条件のもとで、提案された推定量の理論的収束速度を確立すること。

提案手法

• 観測されたショットノイズ過程の特性関数を、Lévy-Khintchine表現から導出し、観測データと潜在的なマーキング分布を結びつける。
• 観測信号の特性関数とその微分を用いて、マーキング密度の特性関数を表現する、中心的な逆問題公式を導出する。
• 理論的特性関数を、i.i.d. のショットノイズ過程からの実現観測に基づく経験的特性関数に置き換えることで、推定量を構築する。
• マーキング密度のモーメントおよび台の条件のもとで、観測過程の特性関数の減衰を制御する境界を理論的に導出する。
• 関数不等式および有界密度の畳み込みに関する下界を用いて、一様ノルムにおける収束速度を確立する。
• 本モデルではLévy測度が無限大であるため、直接的にLévy測度を推定するのを避ける。代わりに、特性関数の逆問題を介してマーキング密度に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 検出器の信号が指数的減衰するインパルスの重ね合わせである場合、ガンマ線量子のエネルギー分布に対する非パラメトリック推定量を構築できるか？
• RQ2 ピルアップ条件下で、観測されたショットノイズ過程の特性関数から、マーキング密度の特性関数を回復する方法は何か？
• RQ3 提案された非パラメトリック推定量の収束速度は、一様ノルムでどの程度か？
• RQ4 マーキング密度に有界な台およびモーメント条件を課した場合、この手法はどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 提案された非パラメトリック推定量は、真のマーキング密度に対して一様ノルムで多項式速度で収束する。具体的には、サンプルサイズと潜在的な密度の滑らかさに依存する項によって上限が与えられる。
• マーキング密度がコンパクトな区間上でゼロから離れており、さらにモーメントおよび正則性条件を満たすと仮定することで、収束速度が確立される。
• 観測信号の特性関数は、(1 + |u|)^{-λ/α} の速度で減衰する。この減衰特性は、収束証明に不可欠な下界を導出可能にする。
• 無限大のLévy測度の推定を必要とせず、一様一貫性を達成する。これは、古典的Lévy過程推論における主要な障壁を回避する。
• モンテカルロ実験により、理論的結果が有限サンプル設定でも妥当であることが支持され、推定量の実用性と安定性が示された。
• 理論的結果は、指数的インパルス応答を仮定して導出されており、これは現実のHPGe検出器で一般的に観察されるため、本手法の実用的妥当性が高まる。