[論文レビュー] Nonparametric estimation of the division rate of an age dependent branching process

Marc Hoffmann, A. Olivier|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用数 35

ひとこと要約

本稿では、粒子が年齢に応じて分裂する割合に依存する超臨界ベルマン＝ハリス分岐過程における分裂率 $ B(x) $ の非パラメトリックなカーネル推定量を開発する。エルゴディック性のもとで、推定量は最適なミニマックスレート $ \\exp\left(-\lambda_B \frac{\beta}{2\beta+1} T\right) $ を達成する。ここで $ \lambda_B $ はマルサスパラメータ、$ \beta $ は $ B(x) $ の滑らかさを表す。また、時間 $ T $ における生存粒子のみを観測することは、バイアスと選択効果のため、最適な推定に不十分であることを示している。

ABSTRACT

We study the nonparametric estimation of the branching rate $B(x)$ of a supercritical Bellman-Harris population: a particle with age $x$ has a random lifetime governed by $B(x)$; at its death time, it gives rise to $k \\geq 2$ children with lifetimes governed by the same division rate and so on. We observe in continuous time the process over $[0,T]$. Asymptotics are taken as $T \ ightarrow \\infty$; the data are stochastically dependent and one has to face simultaneously censoring, bias selection and non-ancillarity of the number of observations. In this setting, under appropriate ergodicity properties, we construct a kernel-based estimator of $B(x)$ that achieves the rate of convergence $\\exp(-\\lambda_B \\frac{\\beta}{2\\beta+1}T)$, where $\\lambda_B$ is the Malthus parameter and $\\beta >0$ is the smoothness of the function $B(x)$ in a vicinity of $x$. We prove that this rate is optimal in a minimax sense and we relate it explicitly to classical nonparametric models such as density estimation observed on an appropriate (parameter dependent) scale. We also shed some light on the fact that estimation with kernel estimators based on data alive at time $T$ only is not sufficient to obtain optimal rates of convergence, a phenomenon which is specific to nonparametric estimation and that has been observed in other related growth-fragmentation models.

研究の動機と目的

• 粒子の年齢に依存する分裂率をもつ年齢依存分岐過程における分裂率 $ B(x) $ の非パラメトリック推定量の開発。
• 連続時間観測における確率的依存性、打ち切り（観測されない死亡）およびバイアス選択の課題に対処すること。
• 関数 $ B $ の滑らかさに関する仮定の下で、$ B(x) $ を推定する際のミニマックス収束レートを確立すること。
• 標準的な推定量が時間 $ T $ に生存する粒子のみに依存する場合、観測スキームに内在する選択バイアスのため、最適レートに到達できないことを示すこと。

提案手法

• 推定量は、$ t \in [0,T] $ の全過程 $ X(t) $ の履歴、すなわち死亡粒子と時間 $ T $ での生存粒子を含む、カーネルに基づくものである。
• 分岐過程における確率的依存性に対処するため、分岐性質とマルティンゲール技法を用いてバイアスと分散の上限を導出する。
• 漸近的解析は、マルサスパラメータ $ \lambda_B $ と $ B(x) $ の滑らかさ $ \beta $ に依存し、収束レートは $ \lambda_B \frac{\beta}{2\beta+1} $ に依存する。
• 時間変換過程とカップリング論法を用いて、$ H_B $-変換下での過程の挙動を制御し、モーメント上限の導出を可能にする。
• 最適性の証明には、パラメータ依存の時間スケールを介して古典的非パラメトリックモデルと関連付ける手法を用い、変換された定義域における密度推定と同等であることを示す。
• 生存バイアスの丁寧な取り扱いを含み、時間 $ T $ より前に死亡した粒子と時間 $ T $ に生存する粒子の区別をし、両者が最適推定に寄与することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間観測における超臨界ベルマン＝ハリス過程において、分裂率 $ B(x) $ の非パラメトリック推定の最適収束レートは何か？
• RQ2 時間 $ T $ に生存する粒子のみを観測する観測スキームに起因する打ち切りと選択バイアスが、達成可能な推定レートに与える影響は何か？
• RQ3 この従属的かつ i.i.d. でない設定において、カーネルベースの推定量がミニマックス最適レートに到達可能か。そのために $ B(x) $ に必要な条件は何か？
• RQ4 時間 $ T $ に生存する粒子のみに依存して推定を行うのは、なぜ不十分なのか。なぜなら、それらは唯一完全に観測可能な粒子ではあるが。

主な発見

• 提案されたカーネル推定量は、ミニマックス最適収束レート $ \exp\left(-\lambda_B \frac{2\beta}{2\beta+1} T\right) $ を達成する。ここで $ \lambda_B $ はマルサスパラメータ、$ \beta > 0 $ は $ B(x) $ の滑らかさインデックスである。
• このレートはミニマックスの意味で最適であり、同様の滑らかさとエルゴディック性の仮定のもとで、他のいかなる推定量よりも速い収束レートは達成できないことが示されている。
• このレートは古典的非パラメトリックモデルと明示的に関連づけられており、パラメータ $ \lambda_B $ に依存する時間スケールにおける密度推定に対応しており、マルサスィアン・マルティンゲールによって誘発される時間変換を反映している。
• 時間 $ T $ に生存する粒子のみに依存する推定は、分岐過程における非パラメトリック推定に特有の選択バイアスのため、最適レートに到達できない。
• 証明は、$ H_B $-変換下での過程のカップリング論法とモーメント上限に依存しており、推定量のバイアスと分散の制御を可能にする。
• 解析により、観測されたイベント数（死亡）は非アナンシルであることが示され、i.i.d. の設定とは異なり、推定手順で考慮しなければならない。