[論文レビュー] Nonparametric Estimation of Truncated Conditional Expectation Functions

Tomasz Olma|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2021

Statistical Methods and Inference被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、条件付き分位数関数の第一段階推定誤差に対してロバストな、打ち切り条件付き期待値関数のための新規な2段階非パラメトリック推定量を提案する。第二段階でネイマン直交的モーメントを用いることで、標準的な非パラメトリック推論手法を直接適用可能にし、打ち切り分位数がデータから推定される場合でも有効な漸近的推論を可能にする。

ABSTRACT

Truncated conditional expectation functions are objects of interest in a wide range of economic applications, including income inequality measurement, financial risk management, and impact evaluation. They typically involve truncating the outcome variable above or below certain quantiles of its conditional distribution. In this paper, based on local linear methods, a novel, two-stage, nonparametric estimator of such functions is proposed. In this estimation problem, the conditional quantile function is a nuisance parameter that has to be estimated in the first stage. The proposed estimator is insensitive to the first-stage estimation error owing to the use of a Neyman-orthogonal moment in the second stage. This construction ensures that inference methods developed for the standard nonparametric regression can be readily adapted to conduct inference on truncated conditional expectations. As an extension, estimation with an estimated truncation quantile level is considered. The proposed estimator is applied in two empirical settings: sharp regression discontinuity designs with a manipulated running variable and randomized experiments with sample selection.

研究の動機と目的

• 条件付き分位数関数の推定誤差が存在しても有効な、打ち切り条件付き期待値の非パラメトリック推定量を開発すること。
• 従来の結果の条件分布に従う打ち切り点が存在する非パラメトリックモデルにおける推論の課題に対処すること。
• 特に回帰不連続性および標本選択の文脈において、推定された打ち切り分位数レベルを含む設定への拡張を図ること。
• 第一段階の推定誤差を考慮した後でも、バイアス補正や分散推定などの標準的な非パラメトリック推論手順が適用可能であることを保証すること。
• 共変数に依存する打ち切りが存在する状況における、不平等測定、リスク管理、影響評価の実応用のための実用的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 推定量は2段階の局所線形アプローチを用いる：まず、核法を用いて条件付き分位数関数 $ Q(\theta, x) $ を非パラメトリックに推定する。
• 第二段階では、打ち切り条件付き期待値 $ m(\theta, x) = \mathbb{E}[Y \mid Y \leq Q(\theta, X), X = x] $ を推定するためのネイマン直交的モーメント条件を構築し、第一段階の誤差に対してロバストであることを保証する。
• 鍵となるモーメント条件は、恒等式 $ m(\theta, x) = \frac{1}{\theta} \mathbb{E}[Y \mathbf{1}\{Y \leq Q(\theta, X)\} - Q(\theta, X)(\mathbf{1}\{Y \leq Q(\theta, X)\} - \theta) \mid X = x] $ から導かれるもので、ネイズンパラメータ $ Q(\theta, \cdot) $ に対して直交する。
• 最終的な推定量は、ネイマン直交的モーメントを組み込んだ変換された目的変数に対して、共変数点 $ x_0 $ の周りにカーネル重みを配置した局所線形回帰を用いて得られる。
• 推定量が正規漸近線形表現を持つことを保証することで、バイアス補正された信頼区間などの標準的な推論手順が適用可能になる。
• 推定された打ち切りレベルを含む設定への拡張も行われ、特に操作された走査変数を伴うシャープな回帰不連続性および標本選択のあるラントマイズド実験の文脈をカバーする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 打ち切り点がデータから推定しなければならない条件付き分位数関数である場合、どのようにして打ち切り条件付き期待値を一貫して推定できるか。
• RQ2 第一段階での条件付き分位数関数の推定誤差が、打ち切り期待値推定量の漸近的分布に影響を与えないようにする推定量構造は何か。
• RQ3 ネイマン直交的モーメント条件のもとで、標準的な非パラメトリック推論手法を打ち切り条件付き期待値に直接適用できるか。
• RQ4 操作された走査変数を伴う回帰不連続性のような、内生的打ち切りが存在する状況において、提案手法はどのように動作するか。
• RQ5 打ち切り分位数が既知ではなく推定される場合、推定量の有限標本特性および漸近的分布挙動はどのようになるか。

主な発見

• 提案された2段階推定量は漸近正規性および正規漸近線形表現を達成しており、標準的な非パラメトリック推論手法の適用が可能になる。
• ネイマン直交的モーメント条件により、推定量の影響関数が第一段階での条件付き分位数関数の推定誤差に対して感受性がなくなる。
• 推定量の漸近バイアスは $ O(h^2 + (nh)^{-1/2}) $ のオーダーであり、$ h $ はバンド幅、$ n $ は標本サイズを表す。
• 推定量の漸近分散は、ネイマン直交的モーメントの条件付き分散および分位数関数と期待値関数の曲率に依存する。
• 推定された打ち切り分位数レベルの設定において、平均処置効果の境界の同時漸近分布が導出され、正規性が正規性条件下で保たれることを示している。
• 本手法は、操作された走査変数を伴うシャープな回帰不連続性および標本選択のあるラントマイズド実験の2つの文脈で実証的に検証され、ロバスト性と実用的有用性が示された。