[論文レビュー] Nonparametric Multiple-Output Center-Outward Quantile Regression

Eustasio del Barrio, Alberto González-Sanz+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2022

Statistical Methods and Inference被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、最適輸送理論に基づくセンター・アウトワード分位数を用いた非パrametricな複数出力分位数回帰手法を提案する。この手法により、確率含量が制御された条件付き分位数領域および輪郭の一貫性のある推定が可能となり、従来の深さに基づく手法に見られる限界を克服する。アプローチは、ネストされた解釈可能な経験的チューブを構築し、サンプルサイズが増加するにつれて、その Pompeiu-Hausdorff 収束により、母集団の対応する領域に収束する。

ABSTRACT

Based on the novel concept of multivariate center-outward quantiles introduced recently in Chernozhukov et al. (2017) and Hallin et al. (2021), we are considering the problem of nonparametric multiple-output quantile regression. Our approach defines nested conditional center-outward quantile regression contours and regions with given conditional probability content irrespective of the underlying distribution; their graphs constitute nested center-outward quantile regression tubes. Empirical counterparts of these concepts are constructed, yielding interpretable empirical regions and contours which are shown to consistently reconstruct their population versions in the Pompeiu-Hausdorff topology. Our method is entirely non-parametric and performs well in simulations including heteroskedasticity and nonlinear trends; its power as a data-analytic tool is illustrated on some real datasets.

研究の動機と目的

• 確率含量が制御され、かつ分布に依存しない多変量分位数の整合的で分布フリーな概念の欠如に取り組むこと。これは、現在の深さに基づく手法や方向分位数手法における主要な欠陥である。
• 母集団分布の形状に依存せず、1変量分位数の本質的性質（条件付き確率含量が固定）を保つ、完全に非パラメトリックな複数出力分位数回帰フレームワークを構築すること。
• 共変数が与えられたもとでの多変量応答変数の解釈可能でネストされた条件付き分位数領域および輪郭を、最適輸送によるセンター・アウトワード順序に基づいて構築すること。
• サンプルサイズが増加するにつれて、経験的推定値が Pompeiu-Hausdorff 位相で母集団の対応する分位数構造に一貫して収束することを保証すること。
• 特に異分散性や非線形的依存構造を示す状況において、パラメトリックまたはセミパラメトリックモデルの代替として、強固で中立的な代替手法を提供すること。

提案手法

• 共変数が与えられたときの応答変数の条件付き分布への単位球面上の一様分布からの最適輸送写像を用いて定義されるセンター・アウトワード分位数を利用する。
• 事前に指定された確率含量（例：τ = 0.2, 0.4, 0.8）を持つ、ネストされた条件付き分位数領域および輪郭を定義し、それらが母集団分布の形状に依存しないことを保証する。
• データから得られるセンター・アウトワード分位数の経験的類似物を、半離散的最適輸送を用いて、経験的測度を単位球面にマッピングすることで構築する。
• サンプルサイズが増加するにつれて、経験的分位数領域および輪郭が母集団バージョンに Pompeiu-Hausdorff 距離の意味で一貫して収束することを確立する。
• 実データセットおよびシミュレーションにこの手法を適用し、パラメトリック形式を仮定しない状況でも、異分散性や非線形的トレンドに対して強健であることを示す。
• 多くの既存の最適輸送推定器が要求するような、コンパクトな台や有界密度の仮定を排除し、センター・アウトワード分位数の内在的幾何構造に依存することで、制限の厳しい仮定を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の分布に対して、固定された条件付き確率含量を維持する完全に非パラメトリックな多変量分位数回帰フレームワークを構築することは可能か？
• RQ2 最適輸送に基づくセンター・アウトワード分位数は、複数出力および共変数を伴う条件付き回帰設定にどのように適応可能か？
• RQ3 サンプルサイズが増加するにつれて、経験的センター・アウトワード分位数領域および輪郭が、Pompeiu-Hausdorff 位相で母集団の対応する領域に一貫して推定される程度はどの程度か？
• RQ4 本手法は、確率含量の制御性および解釈可能性の観点で、深さに基づく手法や方向分位数手法を上回る性能を示せるか？
• RQ5 異分散性および非線形的依存構造下における、本手法の有限標本における性能と強健性はいかがな特性を示すか？

主な発見

• 提案手法により、母集団分布の形状に依存せず、正確に制御された確率含量（例：20%、40%、80%）を持つ条件付き分位数領域および輪郭が構築可能であり、1変量分位数の基本的性質を満たす。
• サンプルサイズが増加するにつれて、経験的センター・アウトワード分位数領域および輪郭は、Pompeiu-Hausdorff 位相で母集団の対応する領域にほとんど確実に収束する。
• シミュレーションにおいて、異分散性や非線形的トレンド下でも良好な性能を示し、従来の深さに基づく手法や方向分位数手法を上回る。
• 本手法は完全に非パラメトリックであり、強いパラメトリック仮定や母集団分布の台に関する制限の厳しい条件を必要としない。
• ANSUR 2 データセットへの実データ応用では、多変量分位数領域の解釈可能で意味のある投影（例：身長を予測変数として、足長と下腿長の分位数領域を推定）が可能である。
• 完全な半離散的最適輸送の計算的非現実性を回避するため、条件付き輸送写像に焦点を当てることで、中程度の次元数においても計算の現実可能性を維持する。