[論文レビュー] Nonperturbative renormalization of scalar QED in d=3

J. Dimock|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2015

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ブロック平均を用いた場の理論の重い場の理論的枠組み（RG）を用いて、三次元ユークリッド時空におけるスカラー量子電磁力学（QED）の非摂動的正規化を提示する。有界なスカラー場近似とカウンタータームの制御を用いることで、真空エネルギーとスカラー質量が事前に割り当てられた値へと流れることを示し、他のパラメータは有界のまま保たれる。これにより、摂動的展開やフェニマン図を用いずに紫外有限性が保証される。

ABSTRACT

For scalar QED on a three-dimensional toroidal lattice with a fine lattice spacing we consider the renormalization problem of choosing counter terms depending on the lattice spacing, so that the theory stays finite as the spacing goes to zero. We employ a renormalization group method which analyzes the flow of the mass and the vacuum energy as a problem in discrete dynamical systems. The main result is that counter terms can be choosen so that at the end of the iteration these quantities take preassigned values. No use is made of perturbation theory. The renormalization group transformations are defined with bounded fields, an approximation which can be justified in Balaban's approach to the renormalization group.

研究の動機と目的

• 摂動理論やフェニマン図に依存せずに、d=3におけるスカラーQEDの非摂動的正規化を達成すること。
• 重ね合わせ場の理論（RG）フレームワークにおいて、適切なカウンタータームを選択することで、格子間隔ε → 0 の紫外極限を制御すること。
• 先行研究が質量のあるゲージ場を用いていたのに対し、質量ゼロのゲージ場を含めたRGアプローチの拡張を図ること。
• 各ステップ後に上界と下界のみが得られる従来の手法の制限を克服し、完全なRG変換のフローを確立すること。
• d=3におけるφ⁴模型の先行的成功を模倣し、スカラーQEDの完全な非摂動的取り扱いの基盤を築くこと。

提案手法

• 格子間隔ε = L⁻ᴺで単位体積を持つ三次元トーラス格子上にスカラーQEDを定式化し、実数値のスカラー場φ = (φ₁, φ₂)とアーベルゲージ場𝒜を用いる。
• 作用S(𝒜, φ)を、ゲージ場の運動エネルギー（∥d𝒜∥²）、共変微分項（∥∂𝒜φ∥²）、および質量項と四次相互作用を含むスカラー自己エネルギーV(φ)の和として定義する。
• ブロック平均を用いた重ね合わせ場の理論（RG）を適用し、場の空間を大きな場と小さな（有界な）場に分割。正規化は主に小さな場領域に限定される。
• 有界なスカラー場近似を用いて、高次フェニマン図計算を避ける非摂動的離散力学系としてのRGフローを制御する。
• 真空エネルギーとスカラー質量を事前に割り当てられた値へ固定する非摂動的カウンターターム戦略を実装し、他のパラメータは有界に保つ。
• フーリエ解析とsinhおよびω(𝐩)に関する境界を用いて、スカラー伝播関数Gₛᵏ(x,y)の指数的減衰推定を確立し、|Gₛᵏ(x,y)| ≤ 𝒪(1)|x₀−y₀|⁻¹e⁻ᵞ|x₀−y₀|が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動的展開やフェニマン図を用いずに、d=3におけるスカラーQEDで非摂動的正規化を達成できるか？
• RQ2 RGフレームワークにおいて、真空エネルギーとスカラー質量の発散を制御するためのカウンタータームを体系的に選択する方法は何か？
• RQ3 質量ゼロのゲージ場と完全なRGフローは、質量のあるゲージ場と部分的境界を用いた従来の手法に比べてどのような改善をもたらすか？
• RQ4 有界なスカラー場近似を用いて、RGフローを厳密に制御し、紫外有限性を保証できるか？
• RQ5 非摂動的領域におけるスカラー伝播関数の定量的減衰性質は何か？

主な発見

• 真空エネルギーとスカラー質量は、RG変換の下で事前に割り当てられた値へと流れることを示し、見かけ上発散する量の制御が可能となる。
• スカラー伝播関数は、あるγ > 0に対して|Gₛᵏ(x,y)| ≤ 𝒪(1)|x₀−y₀|⁻¹e⁻ᵞ|x₀−y₀|を満たし、時間的分離における指数的減衰を示している。
• 伝播関数の微分は|∂ₓ₀Gₛᵏ(x,y)| ≤ 𝒪(1)|x₀−y₀|⁻²e⁻ᵞ|x₀−y₀|で有界であり、微分に対してはより強い減衰が見られる。
• 重合点における伝播関数は|Gₛᵏ(0,0)| ≤ 𝒪(1)Lᵏ = 𝒪(1)d′(0,0)⁻¹を満たし、格子依存の発散がRG手順によって制御されていることを示している。
• 高次フェニマン図計算を避けるために有界なスカラー場領域に焦点を当てることで、従来の手法に比べて改善が図られている。
• 解析により、選択されたカウンタータームのもとで、モデルが連続極限（ε → 0）でも適切に定義されることを確認し、非摂動的正規化が達成された。