[論文レビュー] Nonpositively curved manifolds containing a prescribed nonpositively curved hypersurface

T. Tâm Nguyễn Phan|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、与えられた閉じた、非正曲率のn次元多様体を完全測地的部分多様体として含む、幾何学的ランク1の閉じた、非正曲率の(n+1)次元多様体を構成する。ピンチドスムーズハイパーボリゼーションと凸なワーピング関数を用いたワーピング積計量を用いて、元の多様体を等長的に埋め込みつつ、非正曲率を保ち、結果として得られる多様体が積ではないことを保証する。

ABSTRACT

We use pinched smooth hyperbolization to show that every closed, nonpositively curved $n$-dimensional manifold $M$ can be embedded as a totally geodesic submanifold of a closed, nonpositively curved $(n+1)$-dimensional manifold $\hat{M}$ of geometric rank one.

研究の動機と目的

• 閉じた非正曲率n次元多様体が、より高次元で幾何学的ランク1の非正曲率多様体に等長的かつ完全測地的に埋め込めるかどうかを問うラルフ・シュパツィアーの問いに答えること。
• 元のn次元多様体を完全測地的部分多様体として含み、断面曲率 ≤ 0 かつ幾何学的ランク1である閉じた(n+1)次元多様体を構築すること。
• 構成により幾何学的ランク1を達成することで、結果として得られる多様体が積でないことを保証すること。
• 接合領域での計量スムージング過程において非正曲率を保つこと。
• 元の多様体のホワイトヘッド群が自明であるという条件の下で構成を確立すること。この条件は、非正曲率の性質により、次元 >4 の場合に常に成立する。

提案手法

• 元の多様体Mのスムーズな三角形分割をとり、それをM×[0,1]に拡張し、境界を錐にすることで、唯一つの特異点をもつ単体的複体Xを構成する。
• Xに厳密なハイパーボリゼーションを適用し、h(X)を得る。これは1つの特異点をもつ多様体であり、ピンチドスムーズハイパーボリゼーションが可能になるよう、ハイパーボリゼーションの断片が十分な幅を持つように保証する。
• 特異点を除去することで、W = h(X)\{h(*)} を得る。これは非コンパクトで、2つの端がM×(0,∞)とホメオモーティックな多様体である。
• Wに、各端がdt² + e⁻²ᵗgₘの計量でM×(a,∞)に等長的となる負曲率の計量gを導入する。ただしa < -1とする。
• Wをt=0で切断し、2つの境界成分を貼り合わせることで、閉じた多様体Ŵを構成する。この多様体には計量g̅が定義され、(-1,1)×M上ではdt² + e⁻²|ᵗ|gₘのワーピング積計量として与えられる。
• t=0の近傍で、e⁻²|ᵗ|を滑らかで偶関数かつ凸な関数φ(t)にスムージングする。φ(t)は0の近傍以外でe⁻²|ᵗ|と一致し、t=0で最小値をとる。この方法により、Bishop-O'Neillの公式を用いて非正曲率を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての閉じた非正曲率n次元多様体は、幾何学的ランク1の閉じた非正曲率(n+1)次元多様体に等長的かつ完全測地的に埋め込めるか？
• RQ2 結果として得られる多様体が積でないことを保証しながら、そのような埋め込みを構成することは可能か？
• RQ3 結果として得られる多様体の計量をスムージングしても、非正曲率が保たれるか？
• RQ4 この構成が成立するための元の多様体に必要な条件は何か。特にホワイトヘッド群に関しては？
• RQ5 ピンチドスムーズハイパーボリゼーションを用いて、与えられた超曲面を含むランク1の非正曲率多様体をどのように構成できるか？

主な発見

• 構成により、断面曲率 ≤ 0 かつ幾何学的ランク1である閉じた(n+1)次元リーマン多様体Ŵが得られる。
• 元の多様体Mは、t=0における断面を介してŴに等長的かつ完全測地的に埋め込まれる。
• 結果として得られるŴ上の計量は滑らかで、凸で滑らかかつ偶関数のワーピング関数φ(t)の使用により非正曲率を保つ。
• 構成は、元の多様体のホワイトヘッド群が自明である場合に有効であり、これは次元 >4 の非正曲率多様体に対してFarrell–Jonesの結果により保証される。
• 中間多様体Wの各端の計量は、dt² + e⁻²ᵗgₘの計量でM×(a,∞)に等長的であり、最終的なワーピング積構造と整合性を持つ。
• 構成により、最終的な多様体Ŵが積でないことが保証される。これは、曲率と構成の位相的性質から導かれる幾何学的ランク1に起因する。